Determine a série de Taylor da função
com centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar a série de Taylor de centro
para a função
com
.\n
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A função é
.\n - O centro é
(ou seja, queremos a série de Maclaurin de ).\n - Precisamos apresentar a série de potências (os coeficientes) da função em torno de
, e, idealmente, indicar o raio/intervalo de convergência.
Passo 2
Lembrete: a série de Taylor de uma função
em torno de
é
No caso
chamamos isso de série de Maclaurin:
Mas, em muitos casos, é mais prático usar séries conhecidas e fazer substituições do que calcular todas as derivadas. Uma série muito útil e básica é a série de
, que vamos obter agora (é uma técnica padrão: derivar/integar a série geométrica).
Passo 3
Derivação da série de
(para aprender a ferramenta):
- Para
vale a série geométrica alternada
- Integramos termo a termo de
até . No lado esquerdo obtemos . No lado direito integrando cada termo:
- Reindexando (
) obtemos a série clássica
válida para
. (Note que
porque difere por potência de
.)
Passo 4
Agora fazemos a substituição que resolve o nosso problema: na função dada temos
. Isso é exatamente
com
. Substituindo na série obtida:
Simplificando
, obtemos a série de Maclaurin desejada:
Passo 5
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão (útil na prova para reconhecer a série):
Observe que só aparecem potências pares
e os coeficientes são
.
Passo 6
Sobre convergência (importante para completar a resposta): a série de
tem raio de convergência
em
. Como
, isto implica raio em
dado por
. Nos pontos
temos
e a série se torna a soma alternada
, que converge (ao valor
). Portanto a série converge para
e converge também nos extremos
ao valor
.
Passo 7
Checagem rápida com derivadas (opcional, para ficar mais seguro): o termo de ordem
na série é
, então o coeficiente é
. Pela fórmula de Taylor, isso significa
. Se derivarmos
duas vezes diretamente encontramos realmente
, o que confirma coerência.
Resposta
Raio de convergência:
(a série converge também em
, valendo
nesses pontos).