Determine a série de Taylor da função f com centro c
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right), c=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Taylor de centro c para a função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr),
com c=0.\n
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é f(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).\n
  • O centro é c=0 (ou seja, queremos a série de Maclaurin de f).\n
  • Precisamos apresentar a série de potências (os coeficientes) da função em torno de 0, e, idealmente, indicar o raio/intervalo de convergência.

Passo 2

Lembrete: a série de Taylor de uma função f em torno de c é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}\text{(c)}}{n!}(x-c)^{n}.
No caso c=0 chamamos isso de série de Maclaurin:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Mas, em muitos casos, é mais prático usar séries conhecidas e fazer substituições do que calcular todas as derivadas. Uma série muito útil e básica é a série de \ln(1+u), que vamos obter agora (é uma técnica padrão: derivar/integar a série geométrica).

Passo 3

Derivação da série de \ln(1+u) (para aprender a ferramenta):
  • Para |u|<1 vale a série geométrica alternada
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
  • Integramos termo a termo de 0 até u. No lado esquerdo obtemos \int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+u)-\ln 1=\ln(1+u). No lado direito integrando cada termo:
\int_{0}^{u}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{n+1}}{n+1}.
  • Reindexando ( m=n+1) obtemos a série clássica
\ln(1+u)=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\frac{u^{m}}{m}=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{u^{m}}{m},
válida para |u|<1. (Note que (-1)^{m-1}=(-1)^{m+1} porque difere por potência de 2.)

Passo 4

Agora fazemos a substituição que resolve o nosso problema: na função dada temos f(x)=\ln(1+x^{2}). Isso é exatamente \ln(1+u) com u=x^{2}. Substituindo na série obtida:
\ln(1+x^{2})=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(x^{2})^{n}}{n}.
Simplificando (x^{2})^{n}=x^{2n}, obtemos a série de Maclaurin desejada:
\ln(1+x^{2})=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{n}.

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão (útil na prova para reconhecer a série):
\ln(1+x^{2})=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}-\frac{x^{8}}{4}+\cdots.
Observe que só aparecem potências pares x^{2n} e os coeficientes são (-1)^{n+1}/n.

Passo 6

Sobre convergência (importante para completar a resposta): a série de \ln(1+u) tem raio de convergência 1 em u. Como u=x^{2}, isto implica raio em x dado por |x|<1. Nos pontos x=\pm1 temos u=1 e a série se torna a soma alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n, que converge (ao valor \ln 2). Portanto a série converge para |x|<1 e converge também nos extremos x=\pm1 ao valor \ln 2.

Passo 7

Checagem rápida com derivadas (opcional, para ficar mais seguro): o termo de ordem x^{2} na série é x^{2}, então o coeficiente é 1. Pela fórmula de Taylor, isso significa f''(0)/2!=1\Rightarrow f''(0)=2. Se derivarmos f(x) duas vezes diretamente encontramos realmente f''(0)=2, o que confirma coerência.

Resposta

\ln(1+x^{2})=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{n}=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}-\cdots
Raio de convergência: 1 (a série converge também em x=\pm1, valendo \ln 2 nesses pontos).

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