Uma parede de espessura 2 \mathrm{~L}=40 \mathrm{~mm} e condutividade térmica \mathrm{k}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} gera calor a uma taxa q por unidade de volume e troca calor por convecção nas suas faces ( \mathrm{x}=-\mathrm{L},+\mathrm{L} ), cada uma exposta a um fluido na temperatura \mathrm{T}=20^{\circ} \mathrm{C}. Sob condições de regime estacionário a distribuição de temperatura na parede é dada por T(x)=82-210 x-20000 x^{2}, em que T está em { }^{\circ} \mathrm{C} e x está em metros. A origem do eixo coordenado x está no plano médio da parede. Pede-se:
(a) Esboce a distribuição de temperatura e identifique as características físicas importantes (temperaturas nas superfícies da parede, máxima temperatura na parede).
(b) Qual a taxa volumétrica de geração de calor na parede?
(c) Determine os fluxos nas superfícies, -L e +L.
(d) Quais os valores do coeficiente de convecção nos dois lados da parede?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Espessura total da parede: 2L=40\\ \mathrm{mm}.
  • Condutividade térmica: k=5\\ \mathrm{W/mK}.
  • Temperatura do fluido em ambos os lados: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Distribuição de temperatura em regime estacionário: T(x)=82-210\,x-20000\,x^{2}, com T em ^\circ\mathrm{C} e x em metros.
  • Origem do eixo no plano médio da parede (portanto as faces estão em x=\pm L).
O que é pedido:
(a) Esboçar a distribuição de temperatura e identificar as características físicas importantes (temperaturas nas superfícies, máxima temperatura).
(b) Determinar a taxa volumétrica de geração de calor q''' na parede.
(c) Determinar os fluxos de calor nas superfícies em x=-L e x=+L.
(d) Determinar os coeficientes de convecção h em ambos os lados.

Passo 2

Primeiro calculemos L em metros a partir de 2L=40\\ \mathrm{mm}.
L=\frac{40\\ \mathrm{mm}}{2}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Temperaturas nas superfícies: avaliar T(x) em x=+L e x=-L.
Cálculo em x=+L:
T(+L)=T(0{,}02)=82-210(0{,}02)-20000(0{,}02)^{2}.
Calcule passo a passo:
210(0{,}02)=4{,}2,\qquad 20000(0{,}02)^{2}=20000(0{,}0004)=8.
T(+L)=82-4{,}2-8=69{,}8^\circ\mathrm{C}.
Cálculo em x=-L:
T(-L)=T(-0{,}02)=82-210(-0{,}02)-20000(0{,}02)^{2}.
-210(-0{,}02)=+4{,}2,\qquad 20000(0{,}02)^{2}=8.
T(-L)=82+4{,}2-8=78{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Localização e valor da temperatura máxima: para achar o máximo da curva use a condição \dfrac{dT}{dx}=0.
Derivada primeira:
\frac{dT}{dx}=-210-40000\,x.
Impondo \dfrac{dT}{dx}=0:
-210-40000\,x=0 \quad\Rightarrow\quad x_{\max}=-\frac{210}{40000}=-0{,}00525\\ \mathrm{m}.
Esse x_{\max} corresponde a -5{,}25\\ \mathrm{mm} (levemente deslocado para o lado x<0).
Avalie T em x_{\max}:
T(x_{\max})=82-210(-0{,}00525)-20000(-0{,}00525)^{2}.
Calcule:
-210(-0{,}00525)=+1{,}1025,\qquad (-0{,}00525)^{2}=2{,}75625\times10^{-5},
20000\times2{,}75625\times10^{-5}=0{,}55125.
T_{\max}=82+1{,}1025-0{,}55125=82{,}55125^\circ\mathrm{C}\approx82{,}55^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Resumo físico (esboço mental da curva):
  • A temperatura é simétrica em forma de parábola deslocada pelo termo linear; o máximo ocorre em x=-0{,}00525\\ \mathrm{m} com T_{\max}\approx82{,}55^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na face esquerda ( x=-L): T(-L)=78{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na face direita ( x=+L): T(+L)=69{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • A parede gera calor no volume (o perfil é convexo para baixo perto do máximo) e perde calor por convecção nas duas faces.

Passo 6

Determinar a taxa volumétrica de geração q'''. Use a equação unidimensional de condução em regime estacionário com geração volumétrica e k constante:
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+q'''=0.
Com k constante:
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+q'''=0 \quad\Rightarrow\quad q'''=-k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}.
Calcule a segunda derivada de T(x):
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(-210-40000x)=-40000\\ \\ (\text{unidade }^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}).
Logo:
q'''=-k(-40000)=k(40000).
Substituindo k=5\\ \mathrm{W/mK}:
q'''=5\times40000=200000\\ \mathrm{W/m^{3}}=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}.

Passo 7

Determinar os fluxos de calor nas superfícies. A densidade de fluxo de calor (no sentido positivo x) é
q_x=-k\frac{dT}{dx}.
Já temos \dfrac{dT}{dx}=-210-40000x.
Avalie em x=+L:
\frac{dT}{dx}\Big|_{+L}=-210-40000(0{,}02)=-210-800=-1010\\ \\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
q_x(+L)=-k\frac{dT}{dx}\Big|_{+L}=-5(-1010)=5050\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: q_x(+L)=5050\\ \mathrm{W/m^{2}} é o fluxo de calor no sentido +x na superfície direita; isso corresponde a 5050\\ \mathrm{W/m^{2}} saindo da parede para o fluido do lado direito.
Avalie em x=-L:
\frac{dT}{dx}\Big|_{-L}=-210-40000(-0{,}02)=-210+800=590\\ \\ ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
q_x(-L)=-k\frac{dT}{dx}\Big|_{-L}=-5(590)=-2950\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o fluxo no sentido +x é -2950\\ \mathrm{W/m^{2}}, isto é, há um fluxo de 2950\\ \mathrm{W/m^{2}} saindo da parede para o fluido do lado esquerdo (sentido -x). Para apresentar como fluxos que saem da parede para cada fluido, é mais claro usar valores positivos por face:
  • Fluxo para o fluido do lado esquerdo (saindo pela face x=-L): 2950\\ \mathrm{W/m^{2}} (direção -x).
  • Fluxo para o fluido do lado direito (saindo pela face x=+L): 5050\\ \mathrm{W/m^{2}} (direção +x).
Sanity check (balanço por unidade de área): geração total por unidade de área =q'''\times 2L=200000\times0{,}04=8000\\ \mathrm{W/m^{2}}. Soma dos fluxos nas faces =2950+5050=8000\\ \mathrm{W/m^{2}}. Balanço satisfeito.

Passo 8

Determinar os coeficientes de convecção h usando a lei de Newton do resfriamento na superfície:
q''_{\text{saída}}=h\left(T_s-T_\infty\right),í
onde T_s é a temperatura da superfície e q''_{\text{saída}}í é o fluxo de calor saindo da parede para o fluido naquela face.
Para a face direita ( x=+L):
T_s(+L)=69{,}8^\circ\mathrm{C},\qquad q''_{+L}=5050\\ \mathrm{W/m^{2}}.
h_{+L}=\frac{q''_{+L}}{T_s(+L)-T_\infty}=\frac{5050}{69{,}8-20}=\frac{5050}{49{,}8}\approx101{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
Para a face esquerda ( x=-L):
T_s(-L)=78{,}2^\circ\mathrm{C},\qquad q''_{-L}=2950\\ \mathrm{W/m^{2}}.
h_{-L}=\frac{q''_{-L}}{T_s(-L)-T_\infty}=\frac{2950}{78{,}2-20}=\frac{2950}{58{,}2}\approx50{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}K}.

Resposta

(a) Temperaturas nas superfícies: T(-L)=78{,}2^\circ\mathrm{C}, T(+L)=69{,}8^\circ\mathrm{C}. Temperatura máxima T_{\max}\approx82{,}55^\circ\mathrm{C} em x_{\max}=-0{,}00525\\ \mathrm{m} (ou -5{,}25\\ \mathrm{mm}).
(b) Taxa volumétrica de geração: q'''=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
(c) Fluxos nas superfícies (saindo da parede para o fluido): q''_{-L}=2950\\ \mathrm{W/m^{2}} (para -x), q''_{+L}=5050\\ \mathrm{W/m^{2}} (para +x).
(d) Coeficientes de convecção: h_{-L}\approx50{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}K} e h_{+L}\approx101{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K}.

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