Uma parede de espessura 2 \mathrm{~L}=40 \mathrm{~mm} e condutividade térmica \mathrm{k}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} gera calor a uma taxa q por unidade de volume e troca calor por convecção nas suas faces ( \mathrm{x}=-\mathrm{L},+\mathrm{L} ), cada uma exposta a um fluido na temperatura \mathrm{T}=20^{\circ} \mathrm{C}. Sob condições de regime estacionário a distribuição de temperatura na parede é dada por T(x)=82-210 x-20000 x^{2}, em que T está em { }^{\circ} \mathrm{C} e x está em metros. A origem do eixo coordenado x está no plano médio da parede. Pede-se:
(a) Esboce a distribuição de temperatura e identifique as características físicas importantes (temperaturas nas superfícies da parede, máxima temperatura na parede).
(b) Qual a taxa volumétrica de geração de calor na parede?
(c) Determine os fluxos nas superfícies, -L e +L.
(d) Quais os valores do coeficiente de convecção nos dois lados da parede?
Passo 1
O enunciado dá:
Espessura total da parede: 2L=40\\ \mathrm{mm}.
Condutividade térmica: k=5\\ \mathrm{W/mK}.
Temperatura do fluido em ambos os lados: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
Distribuição de temperatura em regime estacionário: T(x)=82-210\,x-20000\,x^{2}, com T em ^\circ\mathrm{C} e x em metros.
Origem do eixo no plano médio da parede (portanto as faces estão em x=\pm L).
O que é pedido:
(a) Esboçar a distribuição de temperatura e identificar as características físicas importantes (temperaturas nas superfícies, máxima temperatura).
(b) Determinar a taxa volumétrica de geração de calor q''' na parede.
(c) Determinar os fluxos de calor nas superfícies em x=-L e x=+L.
(d) Determinar os coeficientes de convecção h em ambos os lados.
Passo 2
Primeiro calculemos L em metros a partir de 2L=40\\ \mathrm{mm}.
A temperatura é simétrica em forma de parábola deslocada pelo termo linear; o máximo ocorre em x=-0{,}00525\\ \mathrm{m} com T_{\max}\approx82{,}55^\circ\mathrm{C}.
Temperatura na face esquerda (x=-L): T(-L)=78{,}2^\circ\mathrm{C}.
Temperatura na face direita (x=+L): T(+L)=69{,}8^\circ\mathrm{C}.
A parede gera calor no volume (o perfil é convexo para baixo perto do máximo) e perde calor por convecção nas duas faces.
Passo 6
Determinar a taxa volumétrica de geração q'''. Use a equação unidimensional de condução em regime estacionário com geração volumétrica e k constante:
Interpretação: q_x(+L)=5050\\ \mathrm{W/m^{2}} é o fluxo de calor no sentido +x na superfície direita; isso corresponde a 5050\\ \mathrm{W/m^{2}} saindo da parede para o fluido do lado direito.
Interpretação: o sinal negativo indica que o fluxo no sentido +x é -2950\\ \mathrm{W/m^{2}}, isto é, há um fluxo de 2950\\ \mathrm{W/m^{2}} saindo da parede para o fluido do lado esquerdo (sentido -x). Para apresentar como fluxos que saem da parede para cada fluido, é mais claro usar valores positivos por face:
Fluxo para o fluido do lado esquerdo (saindo pela face x=-L): 2950\\ \mathrm{W/m^{2}} (direção -x).
Fluxo para o fluido do lado direito (saindo pela face x=+L): 5050\\ \mathrm{W/m^{2}} (direção +x).
Sanity check (balanço por unidade de área): geração total por unidade de área =q'''\times 2L=200000\times0{,}04=8000\\ \mathrm{W/m^{2}}. Soma dos fluxos nas faces =2950+5050=8000\\ \mathrm{W/m^{2}}. Balanço satisfeito.
Passo 8
Determinar os coeficientes de convecção h usando a lei de Newton do resfriamento na superfície:
q''_{\text{saída}}=h\left(T_s-T_\infty\right),í
onde T_s é a temperatura da superfície e q''_{\text{saída}}í é o fluxo de calor saindo da parede para o fluido naquela face.
(a) Temperaturas nas superfícies: T(-L)=78{,}2^\circ\mathrm{C}, T(+L)=69{,}8^\circ\mathrm{C}. Temperatura máxima T_{\max}\approx82{,}55^\circ\mathrm{C} em x_{\max}=-0{,}00525\\ \mathrm{m} (ou -5{,}25\\ \mathrm{mm}).
(b) Taxa volumétrica de geração: q'''=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
(c) Fluxos nas superfícies (saindo da parede para o fluido): q''_{-L}=2950\\ \mathrm{W/m^{2}} (para -x), q''_{+L}=5050\\ \mathrm{W/m^{2}} (para +x).
(d) Coeficientes de convecção: h_{-L}\approx50{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}K} e h_{+L}\approx101{,}4\\ \mathrm{W/m^{2}K}.