Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo isósceles com base
e altura
. Dentro desse triângulo está inscrito um retângulo cuja base está sobre a base do triângulo. A pergunta é: determinar o retângulo de área máxima (ou seja, as dimensões do retângulo que tornam a sua área máxima).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
- Base do triângulo:
.\n - Altura do triângulo:
.\n - O retângulo tem a base apoiada sobre a base do triângulo; os vértices superiores do retângulo ficam sobre os lados inclinados do triângulo.\n
- Queremos escolher as dimensões do retângulo (base e altura) que maximizem sua área, respeitando a posição dentro do triângulo.\n
Passo 2
Vamos descrever geometricamente a situação de forma simples e introduzir uma variável para trabalhar. Por simetria do triângulo isósceles, o retângulo ótimo será centralizado (ou seja, alinhado com o eixo de simetria do triângulo). Então basta considerar um retângulo de altura
(medida a partir da base do triângulo para cima) e largura
(a base do retângulo). Aqui
porque a altura do retângulo não pode ultrapassar a altura do triângulo.\n
Definimos a variável principal:\n
Definimos a variável principal:\n
- Seja
a altura do retângulo (em centímetros). Nossa função área será escrita em termos de .\n
Passo 3
Precisamos relacionar a largura
do retângulo com a sua altura
. Para isso usamos semelhança de triângulos: ao cortar o triângulo por uma linha paralela à base a uma altura
acima da base, obtemos um segmento (a largura disponível para o topo do retângulo) proporcional à diferença entre a altura total do triângulo e
.\n
Uma forma prática: colocamos o triângulo com a base no eixo indo de
a
(pois a base tem comprimento
) e o vértice no ponto
. As retas dos lados do triângulo têm equações (obtidas por interpolação entre
e
):\n
Uma forma prática: colocamos o triângulo com a base no eixo
Para uma dada altura
(valor de
do topo do retângulo), o ponto do lado direito tem coordenada
tal que
. Resolvendo para
obtemos\n
Por simetria, a largura total disponível no nível
é o dobro disso, ou seja\n
Observação: essa relação foi obtida aplicando semelhança de triângulos ou simplesmente resolvendo a equação da reta do lado do triângulo; em ambos os casos o resultado é a mesma expressão linear entre
e
.\n
Passo 4
Agora escrevemos a área
do retângulo como função de
. Área é base vezes altura, então:\n
Vamos expandir essa expressão para obter uma forma polinomial mais fácil de manipular:\n
Passo 5
Queremos maximizar
para
no intervalo
. A função
é um polinômio quadrático com coeficiente de
negativo (coeficiente
), logo é uma parábola voltada para baixo; portanto tem um único máximo interior ao intervalo, localizado no vértice da parábola. Podemos encontrar o vértice fazendo a técnica de completar o quadrado ou usando a fórmula do vértice. Vou usar completar o quadrado para sermos totalmente algébricos (sem usar derivadas).\n
Passo 6
Começamos por olhar para o polinômio dentro do parêntese:\n
Para completar o quadrado em
fatoramos o sinal negativo:\n
Agora dentro do parêntese completamos o quadrado:\n
Assim\n
Voltando a
:\n
Dessa forma fica claro que
atinge seu máximo quando o termo negativo
for mínimo, ou seja quando
. Portanto o máximo ocorre em\n
Este valor está dentro do intervalo permitido
, então é admissível.\n
Passo 7
Com
calculamos a largura
correspondente usando a relação do Passo 3:\n
Agora calculamos a área máxima:\n
Passo 8
Rápida verificação de plausibilidade: as dimensões
e
estão dentro do triângulo (largura menor que a base
e altura menor que
). Podemos também revisar os extremos: em
a área é
; em
a largura é
e a área também é
. Como
é contínua e tem único máximo interior em
, a solução encontrada é consistente.\n
Resposta
Base do retângulo:
Altura do retângulo:
Área máxima:
Altura do retângulo:
Área máxima: