Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles com base 6\\ \text{cm} e altura 4\\ \text{cm}. Dentro desse triângulo está inscrito um retângulo cuja base está sobre a base do triângulo. A pergunta é: determinar o retângulo de área máxima (ou seja, as dimensões do retângulo que tornam a sua área máxima).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • Base do triângulo: \,6\\ \text{cm}\,.\n
  • Altura do triângulo: \,4\\ \text{cm}\,.\n
  • O retângulo tem a base apoiada sobre a base do triângulo; os vértices superiores do retângulo ficam sobre os lados inclinados do triângulo.\n
  • Queremos escolher as dimensões do retângulo (base e altura) que maximizem sua área, respeitando a posição dentro do triângulo.\n

Passo 2

Vamos descrever geometricamente a situação de forma simples e introduzir uma variável para trabalhar. Por simetria do triângulo isósceles, o retângulo ótimo será centralizado (ou seja, alinhado com o eixo de simetria do triângulo). Então basta considerar um retângulo de altura \,h (medida a partir da base do triângulo para cima) e largura W (a base do retângulo). Aqui \,0\le h\le 4 porque a altura do retângulo não pode ultrapassar a altura do triângulo.\n
Definimos a variável principal:\n
  • Seja \,h a altura do retângulo (em centímetros). Nossa função área será escrita em termos de \,h.\n

Passo 3

Precisamos relacionar a largura W do retângulo com a sua altura h. Para isso usamos semelhança de triângulos: ao cortar o triângulo por uma linha paralela à base a uma altura h acima da base, obtemos um segmento (a largura disponível para o topo do retângulo) proporcional à diferença entre a altura total do triângulo e h.\n
Uma forma prática: colocamos o triângulo com a base no eixo x indo de -3 a 3 (pois a base tem comprimento 6) e o vértice no ponto (0,4). As retas dos lados do triângulo têm equações (obtidas por interpolação entre (\pm3,0) e (0,4)):\n
\text{lado direito: } y = -\tfrac{4}{3}x + 4\n
\text{lado esquerdo: } y = \tfrac{4}{3}x + 4\n
Para uma dada altura h (valor de y do topo do retângulo), o ponto do lado direito tem coordenada x tal que h = -\tfrac{4}{3}x + 4. Resolvendo para x obtemos\n
x = \tfrac{3}{4}(4 - h).\n
Por simetria, a largura total disponível no nível y=h é o dobro disso, ou seja\n
W(h) = 2\cdot \tfrac{3}{4}(4 - h) = \tfrac{3}{2}(4 - h).\n
Observação: essa relação foi obtida aplicando semelhança de triângulos ou simplesmente resolvendo a equação da reta do lado do triângulo; em ambos os casos o resultado é a mesma expressão linear entre W e h.\n

Passo 4

Agora escrevemos a área A do retângulo como função de h. Área é base vezes altura, então:\n
A(h) = W(h)\cdot h = \tfrac{3}{2}(4 - h)\,h.\n
Vamos expandir essa expressão para obter uma forma polinomial mais fácil de manipular:\n
A(h) = \tfrac{3}{2}(4h - h^{2}) = \tfrac{3}{2}\bigl(-h^{2} + 4h\bigr).\n

Passo 5

Queremos maximizar A(h) para h no intervalo [0,4]. A função A(h) é um polinômio quadrático com coeficiente de h^{2} negativo (coeficiente -\tfrac{3}{2}), logo é uma parábola voltada para baixo; portanto tem um único máximo interior ao intervalo, localizado no vértice da parábola. Podemos encontrar o vértice fazendo a técnica de completar o quadrado ou usando a fórmula do vértice. Vou usar completar o quadrado para sermos totalmente algébricos (sem usar derivadas).\n

Passo 6

Começamos por olhar para o polinômio dentro do parêntese:\n
-f(h):= -h^{2} + 4h.\n
Para completar o quadrado em -h^{2} + 4h fatoramos o sinal negativo:\n
-h^{2} + 4h = -\bigl(h^{2} - 4h\bigr).\n
Agora dentro do parêntese completamos o quadrado:\n
h^{2} - 4h = \bigl(h^{2} - 4h + 4\bigr) - 4 = (h-2)^{2} - 4.\n
Assim\n
-h^{2} + 4h = -\bigl((h-2)^{2} - 4\bigr) = - (h-2)^{2} + 4.\n
Voltando a A(h):\n
A(h) = \tfrac{3}{2}\bigl(- (h-2)^{2} + 4\bigr) = \tfrac{3}{2}\bigl(4 - (h-2)^{2}\bigr).\n
Dessa forma fica claro que A(h) atinge seu máximo quando o termo negativo (h-2)^{2} for mínimo, ou seja quando (h-2)^{2}=0. Portanto o máximo ocorre em\n
h = 2\\ \text{cm}.\n
Este valor está dentro do intervalo permitido [0,4], então é admissível.\n

Passo 7

Com h=2 calculamos a largura W correspondente usando a relação do Passo 3:\n
W(2) = \tfrac{3}{2}(4 - 2) = \tfrac{3}{2}\cdot 2 = 3\\ \text{cm}.\n
Agora calculamos a área máxima:\n
A_{\max} = W(2)\cdot 2 = 3\cdot 2 = 6\\ \text{cm}^{2}.\n

Passo 8

Rápida verificação de plausibilidade: as dimensões W=3\\ \text{cm} e h=2\\ \text{cm} estão dentro do triângulo (largura menor que a base 6\\ \text{cm} e altura menor que 4\\ \text{cm}). Podemos também revisar os extremos: em h=0 a área é 0; em h=4 a largura é 0 e a área também é 0. Como A(h) é contínua e tem único máximo interior em h=2, a solução encontrada é consistente.\n

Resposta

Base do retângulo: 3\\ \text{cm}
Altura do retângulo: 2\\ \text{cm}
Área máxima: 6\\ \text{cm}^{2}

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