A tabela a seguir mostra o número de votos por classe de dois candidatos que estão concorrendo a uma vaga de representante no conselho da escola.
3 \stackrel{\circ}{\mathrm{~A}} 3 \stackrel{\circ}{\mathrm{~B}} 3 \stackrel{\circ}{\mathrm{C}} 3 \stackrel{\circ}{\mathrm{D}} 3 \stackrel{\mathrm{E}}{\mathrm{E}} 3 \stackrel{\circ}{\mathrm{~F}}
Vitor 12 15 12 16 14 15
Rafael 12 11 18 9 19 15
a) Calcule o desvio padrão de cada um dos candidatos.
b) Determine o coeficiente de variação de cada um deles.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o desvio padrão de cada candidato.
  2. Determinar o coeficiente de variação de cada candidato.
Dados (retirei-os da tabela do enunciado):
Vitor recebeu as quantidades de votos por classe: 12,\,15,\,12,\,16,\,14,\,15.
Rafael recebeu as quantidades de votos por classe: 12,\,11,\,18,\,9,\,19,\,15.
O número de observações (número de classes) é n=6 para cada candidato.

Passo 2

Decisão sobre fórmula: o enunciado não diz “amostra” nem “população”. Aqui temos as contagens dos seis turnos/classes — vou tratar esses 6 valores como a população de interesse (todas as classes consideradas), portanto usarei o desvio padrão populacional. Se fosse explicitamente amostra, dividiríamos por n-1; como não é, dividir por n é a escolha mais direta.
Fórmulas que usarei (explicando cada símbolo):
A média populacional é
\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i é cada valor observado (votos por classe) e n é o número total de observações.
A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2,
onde (x_i-\mu) é o desvio de cada observação em relação à média.
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}.
O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa e é dado por
\text{CV}=\frac{\sigma}{\mu}\times 100\%,
ou seja, desvio padrão dividido pela média, em porcentagem. Isso facilita comparar variabilidades de conjuntos com médias diferentes.

Passo 3

Cálculo da média de Vitor:
Somando os votos: 12+15+12+16+14+15=84.
Como n=6,
\mu_{\text{Vitor}}=\frac{84}{6}=14.

Passo 4

Cálculo da variância e desvio padrão de Vitor (passo a passo):
Calculo dos desvios x_i-\mu e seus quadrados:
\begin{aligned} 12-14&=-2\quad\Rightarrow\quad(-2)^2=4,\\\\ 15-14&=1\quad\Rightarrow\quad1^2=1,\\\\ 12-14&=-2\quad\Rightarrow\quad(-2)^2=4,\\\\ 16-14&=2\quad\Rightarrow\quad2^2=4,\\\\ 14-14&=0\quad\Rightarrow\quad0^2=0,\\\\ 15-14&=1\quad\Rightarrow\quad1^2=1. \end{aligned}
Somando os quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\mu_{\text{Vitor}})^2=4+1+4+4+0+1=14.
Variância populacional:
\sigma^2_{\text{Vitor}}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\approx 2,333333\ldots
Desvio padrão:
\sigma_{\text{Vitor}}=\sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1,527525\ldots
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais):
\sigma_{\text{Vitor}}\approx 1,528.

Passo 5

Cálculo da média de Rafael:
Somando os votos: 12+11+18+9+19+15=84.
Logo
\mu_{\text{Rafael}}=\frac{84}{6}=14.
Observação simpática: ambos têm a mesma média, \,14.

Passo 6

Cálculo da variância e desvio padrão de Rafael (passo a passo):
Desvios e quadrados:
\begin{aligned} 12-14&=-2\quad\Rightarrow\quad4,\\\\ 11-14&=-3\quad\Rightarrow\quad9,\\\\ 18-14&=4\quad\Rightarrow\quad16,\\\\ 9-14&=-5\quad\Rightarrow\quad25,\\\\ 19-14&=5\quad\Rightarrow\quad25,\\\\ 15-14&=1\quad\Rightarrow\quad1. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\mu_{\text{Rafael}})^2=4+9+16+25+25+1=80.
Variância populacional:
\sigma^2_{\text{Rafael}}=\frac{80}{6}=\frac{40}{3}\approx 13,333333\ldots
Desvio padrão:
\sigma_{\text{Rafael}}=\sqrt{\frac{40}{3}}\approx 3,6514837\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
\sigma_{\text{Rafael}}\approx 3,651.

Passo 7

Cálculo dos coeficientes de variação (CV) usando \text{CV}=\dfrac{\sigma}{\mu}\times100\%.
Para Vitor:
\text{CV}_{\text{Vitor}}=\frac{\sigma_{\text{Vitor}}}{\mu_{\text{Vitor}}}\times100\%= \frac{\sqrt{7/3}}{14}\times100\%\approx\frac{1,527525}{14}\times100\%\approx 10,9109\%\approx 10,91\%.
Para Rafael:
\text{CV}_{\text{Rafael}}=\frac{\sigma_{\text{Rafael}}}{\mu_{\text{Rafael}}}\times100\%= \frac{\sqrt{40/3}}{14}\times100\%\approx\frac{3,651484}{14}\times100\%\approx 26,0820\%\approx 26,08\%.

Passo 8

Interpretação curta e motivadora: ambos têm média igual, mas Rafael tem desvio padrão e CV maiores — ou seja, os votos de Rafael estão mais dispersos entre as classes; os votos de Vitor são mais homogêneos entre as turmas. Você já está indo bem — esses são exemplos clássicos para entender por que o CV é útil: ele padroniza a dispersão em relação à média.

Resposta

(a) Desvio padrão: Vitor \sigma_{\text{Vitor}}=\sqrt{\dfrac{7}{3}}\approx 1,528; Rafael \sigma_{\text{Rafael}}=\sqrt{\dfrac{40}{3}}\approx 3,651.
(b) Coeficiente de variação: Vitor \text{CV}_{\text{Vitor}}\approx 10,91\%; Rafael \text{CV}_{\text{Rafael}}\approx 26,08\%.

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