Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:
76-82-81-85-80-79-84

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o desvio padrão do conjunto de valores abaixo. Os dados fornecidos são:
76,\;82,\;81,\;85,\;80,\;79,\;84.
Vou apresentar passo a passo o que é necessário, calcular a média, as diferenças em relação à média, as variâncias (populacional e amostral) e finalmente os desvios padrão correspondentes. Vou explicar a diferença entre desvio padrão populacional e amostral para você saber qual usar na prova.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a média aritmética (o “centro” dos dados). A fórmula da média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores. Aqui n=7. Somando os valores:
76+82+81+85+80+79+84 = 567.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{567}{7}=81.
Comentário amigável: que sorte — a média deu um número redondo \,81, isso facilita as contas!

Passo 3

Agora calculemos as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (x_i-\bar{x})^2. Isso é necessário tanto para a variância populacional quanto para a amostral.
Liste das diferenças e quadrados:
\begin{aligned} x_1=76&:\quad x_1-\bar{x}=76-81=-5,\quad (x_1-\bar{x})^2=25,\\\ x_2=82&:\quad x_2-\bar{x}=1,\quad (x_2-\bar{x})^2=1,\\\ x_3=81&:\quad x_3-\bar{x}=0,\quad (x_3-\bar{x})^2=0,\\\ x_4=85&:\quad x_4-\bar{x}=4,\quad (x_4-\bar{x})^2=16,\\\ x_5=80&:\quad x_5-\bar{x}=-1,\quad (x_5-\bar{x})^2=1,\\\ x_6=79&:\quad x_6-\bar{x}=-2,\quad (x_6-\bar{x})^2=4,\\\ x_7=84&:\quad x_7-\bar{x}=3,\quad (x_7-\bar{x})^2=9. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^2 = 25+1+0+16+1+4+9 = 56.

Passo 4

Definição e cálculo da variância populacional e do desvio padrão populacional.
  • A variância populacional é dada por
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2,
onde \sigma^2 é a variância populacional, n é o tamanho da população e \mu é a média populacional (aqui usamos \bar{x} porque estamos com todos os dados). No nosso caso usamos a soma que já calculamos e n=7. Assim:
\sigma^2=\frac{56}{7}=8.
  • O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828.
Explicação prática: \sqrt{2}\approx1,414, então 2\sqrt{2}\approx2\times1,414=2,828. Dá para fazer isso na prova sem calculadora usando a aproximação de \sqrt{2}.

Passo 5

Definição e cálculo da variância amostral (usada quando os dados são uma amostra de uma população maior) e do desvio padrão amostral.
  • A variância amostral (com correção de Bessel) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 é a variância amostral e n-1 corrige o viés quando estimamos a variância da população a partir de uma amostra. Aqui n-1=6. Assim:
s^2=\frac{56}{6}=\frac{28}{3}\approx 9,333.
  • O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{\frac{28}{3}}.
Para aproximar \sqrt{28/3} sem calculadora observe que 28/3\approx9,333. Sabemos que 3^2=9 e 3,05^2=9,3025, 3,055^2\approx9,333. Portanto
s=\sqrt{\frac{28}{3}}\approx 3,055.
Dica prática: para estimar raízes quadradas mentalmente, tente quadrados próximos (3,0; 3,05; 3,06) e ajuste até ficar próximo do valor desejado.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
  • Se a questão pedir explicitamente o desvio padrão da população (ou disser que os números representam toda a população), use o valor populacional \sigma.
  • Se os números representam apenas uma amostra e a questão pede estimar a variabilidade da população, use o desvio amostral s.
    Ambos os cálculos foram mostrados; na dúvida, deixe indicado qual você está calculando na prova (populacional ou amostral).

Resposta

\sigma=2\sqrt{2}\approx2,828
s=\sqrt{\dfrac{28}{3}}\approx3,055

Exercícios relacionados