Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:
76-82-81-85-80-79-84
76-82-81-85-80-79-84
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o desvio padrão do conjunto de valores abaixo. Os dados fornecidos são:
Vou apresentar passo a passo o que é necessário, calcular a média, as diferenças em relação à média, as variâncias (populacional e amostral) e finalmente os desvios padrão correspondentes. Vou explicar a diferença entre desvio padrão populacional e amostral para você saber qual usar na prova.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a média aritmética (o “centro” dos dados). A fórmula da média é
onde
é a média,
é o número de observações e
são os valores. Aqui
. Somando os valores:
Logo a média é
Comentário amigável: que sorte — a média deu um número redondo
, isso facilita as contas!
Passo 3
Agora calculemos as diferenças
e seus quadrados
. Isso é necessário tanto para a variância populacional quanto para a amostral.
Liste das diferenças e quadrados:
Somando os quadrados:
Passo 4
Definição e cálculo da variância populacional e do desvio padrão populacional.
- A variância populacional é dada por
onde
é a variância populacional,
é o tamanho da população e
é a média populacional (aqui usamos
porque estamos com todos os dados). No nosso caso usamos a soma que já calculamos e
. Assim:
- O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
Explicação prática:
, então
. Dá para fazer isso na prova sem calculadora usando a aproximação de
.
Passo 5
Definição e cálculo da variância amostral (usada quando os dados são uma amostra de uma população maior) e do desvio padrão amostral.
- A variância amostral (com correção de Bessel) é
onde
é a variância amostral e
corrige o viés quando estimamos a variância da população a partir de uma amostra. Aqui
. Assim:
- O desvio padrão amostral é
Para aproximar
sem calculadora observe que
. Sabemos que
e
,
. Portanto
Dica prática: para estimar raízes quadradas mentalmente, tente quadrados próximos (3,0; 3,05; 3,06) e ajuste até ficar próximo do valor desejado.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova:
- Se a questão pedir explicitamente o desvio padrão da população (ou disser que os números representam toda a população), use o valor populacional
. - Se os números representam apenas uma amostra e a questão pede estimar a variabilidade da população, use o desvio amostral
.
Ambos os cálculos foram mostrados; na dúvida, deixe indicado qual você está calculando na prova (populacional ou amostral).