Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira order
y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é escrita em termos de x e y(x).
  • O denominador pode ser fatorado: x y+y^{2}=y(x+y).
  • Para poder manipular a expressão é importante notar os pontos onde a fórmula original não está definida: onde y=0 ou onde x+y=0 (porque o denominador é zero nesses pontos).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y), indicando também as restrições de domínio necessárias.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão quando isso for algebraicamente permitido. Se y\neq0 podemos fatorar e simplificar:
x y+y^{2}=y(x+y),
logo, para y\neq0,
y'=\frac{y^{2}}{y(x+y)}=\frac{y}{x+y}.
Observação importante: essa simplificação exige y\neq0. Portanto a equação equivalente \;y'=\dfrac{y}{x+y}\; vale apenas onde y\neq0 e também onde x+y\neq0.

Passo 3

Para resolver \;y'=\dfrac{y}{x+y}\; usamos a substituição clássica para equações homogêneas:
u=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=ux.
Vamos explicar por que isso ajuda: ao escrever y como u x transformamos a dependência y sobre x numa nova função u(x) que muitas vezes permite separar variáveis. Agora calculamos y' em termos de u e du/dx:
y'=\frac{d}{dx}(u x)=u + x\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituímos y=ux e y' na equação simplificada. O lado direito torna-se
\frac{y}{x+y}=\frac{u x}{x+u x}=\frac{u}{1+u}.
Portanto a equação diferencial vira
u + x\frac{du}{dx}=\frac{u}{1+u}.
Isolando x\frac{du}{dx} obtemos
x\frac{du}{dx}=\frac{u}{1+u}-u.
Fazendo a subtração no lado direito:
\frac{u}{1+u}-u=\frac{u-u(1+u)}{1+u}=\frac{u-(u+u^{2})}{1+u}=\frac{-u^{2}}{1+u}.
Logo
x\frac{du}{dx}=-\frac{u^{2}}{1+u}.

Passo 5

A equação acima é separável. Reescrevemos para separar u e x:
\frac{1+u}{u^{2}}\,du=-\frac{dx}{x}.
Explicando a separação: dividimos ambos os lados por x e multiplicamos por (1+u)/u^{2} para obter os diferenciais em lados opostos, permitindo integrar.

Passo 6

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo decompondo a fração:
\frac{1+u}{u^{2}}=\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{u},
portanto
\int\left(\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{u}\right)\,du=\int -\frac{1}{x}\,dx.
Calculamos as integrais term a term:
\int \frac{1}{u^{2}}\,du=\int u^{-2}\,du=-u^{-1}=-\frac{1}{u},
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|,
\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln|x|.
Somando os resultados do lado esquerdo obtemos
-\frac{1}{u}+\ln|u|=-\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltamos à variável original: u=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
-\frac{1}{y/x}+\ln\left|\frac{y}{x}\right|=-\ln|x|+C.
Simplificamos cada termo: -\dfrac{1}{y/x}=-\dfrac{x}{y}, e a diferença de logaritmos dá
\ln\left|\frac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|.
Assim a igualdade fica
-\frac{x}{y}+\ln|y|-\ln|x|=-\ln|x|+C.
Os termos -\ln|x| cancelam em ambos os lados, sobrando uma forma simples:
\ln|y|-\frac{x}{y}=C.
Essa é a solução implícita geral, válida nos conjuntos onde as manipulações feitas são permitidas (ou seja, onde y\neq0 e x+y\neq0).

Passo 8

Comentário sobre soluções singulares e domínio:
  • A dedução acima exigiu y\neq0 e x+y\neq0. Nos pontos onde a expressão original tem denominador zero a equação não está definida; portanto não se pode automaticamente aceitar y\equiv0 como solução clássica (pois ao substituir em \dfrac{y^{2}}{x y+y^{2}} obtém-se uma expressão indeterminada). Logo a solução implícita encontrada é a solução geral nas regiões onde a equação está bem definida e as operações são válidas.
  • A equação explícita em termos de y não pode ser resolvida em forma elementar para y(x); a forma implícita \ln|y|-\dfrac{x}{y}=C é a forma aceitável da solução geral.

Resposta

\ln|y|-\dfrac{x}{y}=C (solução implícita geral, válida para y\neq0 e x+y\neq0).

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