Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira order y^{\prime}=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y^{2}}{x y+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
A equação é escrita em termos de x e y(x).
O denominador pode ser fatorado: x y+y^{2}=y(x+y).
Para poder manipular a expressão é importante notar os pontos onde a fórmula original não está definida: onde y=0 ou onde x+y=0 (porque o denominador é zero nesses pontos).
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (ou uma relação implícita entre x e y), indicando também as restrições de domínio necessárias.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão quando isso for algebraicamente permitido. Se y\neq0 podemos fatorar e simplificar:
x y+y^{2}=y(x+y),
logo, para y\neq0,
y'=\frac{y^{2}}{y(x+y)}=\frac{y}{x+y}.
Observação importante: essa simplificação exige y\neq0. Portanto a equação equivalente \;y'=\dfrac{y}{x+y}\; vale apenas onde y\neq0 e também onde x+y\neq0.
Passo 3
Para resolver \;y'=\dfrac{y}{x+y}\; usamos a substituição clássica para equações homogêneas:
u=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=ux.
Vamos explicar por que isso ajuda: ao escrever y como u x transformamos a dependência y sobre x numa nova função u(x) que muitas vezes permite separar variáveis. Agora calculamos y' em termos de u e du/dx:
y'=\frac{d}{dx}(u x)=u + x\frac{du}{dx}.
Passo 4
Substituímos y=ux e y' na equação simplificada. O lado direito torna-se
A equação acima é separável. Reescrevemos para separar u e x:
\frac{1+u}{u^{2}}\,du=-\frac{dx}{x}.
Explicando a separação: dividimos ambos os lados por x e multiplicamos por (1+u)/u^{2} para obter os diferenciais em lados opostos, permitindo integrar.
Passo 6
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo decompondo a fração:
Simplificamos cada termo: -\dfrac{1}{y/x}=-\dfrac{x}{y}, e a diferença de logaritmos dá
\ln\left|\frac{y}{x}\right|=\ln|y|-\ln|x|.
Assim a igualdade fica
-\frac{x}{y}+\ln|y|-\ln|x|=-\ln|x|+C.
Os termos -\ln|x| cancelam em ambos os lados, sobrando uma forma simples:
\ln|y|-\frac{x}{y}=C.
Essa é a solução implícita geral, válida nos conjuntos onde as manipulações feitas são permitidas (ou seja, onde y\neq0 e x+y\neq0).
Passo 8
Comentário sobre soluções singulares e domínio:
A dedução acima exigiu y\neq0 e x+y\neq0. Nos pontos onde a expressão original tem denominador zero a equação não está definida; portanto não se pode automaticamente aceitar y\equiv0 como solução clássica (pois ao substituir em \dfrac{y^{2}}{x y+y^{2}} obtém-se uma expressão indeterminada). Logo a solução implícita encontrada é a solução geral nas regiões onde a equação está bem definida e as operações são válidas.
A equação explícita em termos de y não pode ser resolvida em forma elementar para y(x); a forma implícita \ln|y|-\dfrac{x}{y}=C é a forma aceitável da solução geral.
Resposta
\ln|y|-\dfrac{x}{y}=C (solução implícita geral, válida para y\neq0 e x+y\neq0).