Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o desvio padrão do conjunto de valores dados. Os valores fornecidos são (peguei-os do enunciado):
-
, , , .
Agora está claro o que é pedido: “calcular o desvio padrão” desses quatro números. Há duas definições comuns de desvio padrão:
- desvio padrão populacional (quando os dados representam toda a população) — usa divisão por
; - desvio padrão amostral (quando os dados são uma amostra de uma população maior) — usa divisão por
.
Como o enunciado não especificou se os valores representam uma população inteira ou uma amostra, vou calcular os dois e explicar a diferença. Se na sua prova o professor só espera um deles, escolha o que foi indicado nas aulas (normalmente: amostral para inferência, populacional para descrição completa).
Passo 2
Primeiro, explico as fórmulas que vou usar e o significado de cada símbolo.
- Seja
os dados (aqui ). - A média aritmética (média) é
onde
é o valor médio e
é o número de observações.
- A variância populacional é
onde
é a variância (populacional). O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
- A variância amostral (estimador não viciado) é
onde
é a variância amostral. O desvio padrão amostral é
Em palavras: soma-se o quadrado das diferenças entre cada valor e a média; divide-se por
(população) ou por
(amostra) e, por fim, tira-se a raiz quadrada.
Passo 3
Calcular a média
.
Somar os valores:
Como há
observações,
Interpretação simples: a média dos quatro números é
.
Passo 4
Calcular as diferenças em relação à média e os quadrados dessas diferenças (vou mostrar cada passo pra ficar bem mastigado):
Diferenças
:
Quadrados das diferenças
:
Somar os quadrados:
Esse número
é a soma total dos quadrados das distâncias dos dados à média — é a quantidade de “variação” total.
Passo 5
Calcular a variância e o desvio padrão populacional.
A variância populacional é
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada:
Agora aproximamos a raiz quadrada manualmente: sabemos que
e
, então
fica entre
e
. Calculando com mais precisão (método de aproximação/checagem),
Arredondando para duas casas decimais (forma usual), obtemos
Passo 6
Calcular a variância e o desvio padrão amostral (caso os dados sejam uma amostra).
A variância amostral é
O desvio padrão amostral é
Aproximando a raiz quadrada,
Arredondando para duas casas decimais,
Observação intuitiva: dividir por
dá uma variância maior aqui, porque compensa o fato de que a média foi estimada a partir dos próprios dados — por isso o desvio amostral é maior que o populacional.
Passo 7
Resumo interpretativo rápido (pra te deixar confiante na prova):
- Se na sua prova pedirem o desvio padrão considerando que os quatro números são toda a população, use o valor populacional
(divisão por ): resultado cerca de . - Se pedirem o desvio padrão considerando que os quatro números são uma amostra de uma população maior (como em muitos problemas de inferência), use o valor amostral
(divisão por ): resultado cerca de .
Não se esqueça: verifique nas instruções da prova se o professor especificou “amostral” ou “populacional”. Se não disse, às vezes o esperado é o amostral; outras vezes é o populacional — siga o que foi usado nas aulas.
Resposta
Desvio padrão populacional:
Desvio padrão amostral:
Desvio padrão amostral: