Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:
138-160-165-141

Passo 1

O enunciado pede para calcular o desvio padrão do conjunto de valores dados. Os valores fornecidos são (peguei-os do enunciado):
  • 138, 160, 165, 141.
Agora está claro o que é pedido: “calcular o desvio padrão” desses quatro números. Há duas definições comuns de desvio padrão:
  • desvio padrão populacional (quando os dados representam toda a população) — usa divisão por n;
  • desvio padrão amostral (quando os dados são uma amostra de uma população maior) — usa divisão por n-1.
Como o enunciado não especificou se os valores representam uma população inteira ou uma amostra, vou calcular os dois e explicar a diferença. Se na sua prova o professor só espera um deles, escolha o que foi indicado nas aulas (normalmente: amostral para inferência, populacional para descrição completa).

Passo 2

Primeiro, explico as fórmulas que vou usar e o significado de cada símbolo.
  • Seja x_1,x_2,\dots,x_n os dados (aqui n=4).
  • A média aritmética (média) é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é o valor médio e n é o número de observações.
  • A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2,
onde \sigma^2 é a variância (populacional). O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
  • A variância amostral (estimador não viciado) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 é a variância amostral. O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}.
Em palavras: soma-se o quadrado das diferenças entre cada valor e a média; divide-se por n (população) ou por n-1 (amostra) e, por fim, tira-se a raiz quadrada.

Passo 3

Calcular a média \bar{x}.
Somar os valores:
138+160+165+141 = 604.
Como há n=4 observações,
\bar{x}=\frac{604}{4}=151.
Interpretação simples: a média dos quatro números é 151.

Passo 4

Calcular as diferenças em relação à média e os quadrados dessas diferenças (vou mostrar cada passo pra ficar bem mastigado):
Diferenças (x_i-\bar{x}):
138-151=-13,\quad 160-151=9,\quad 165-151=14,\quad 141-151=-10.
Quadrados das diferenças (x_i-\bar{x})^2:
(-13)^2=169,\quad 9^2=81,\quad 14^2=196,\quad (-10)^2=100.
Somar os quadrados:
\sum_{i=1}^{4}(x_i-\bar{x})^2 = 169+81+196+100 = 546.
Esse número 546 é a soma total dos quadrados das distâncias dos dados à média — é a quantidade de “variação” total.

Passo 5

Calcular a variância e o desvio padrão populacional.
A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = \frac{546}{4} = 136,5.
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada:
\sigma=\sqrt{136,5}.
Agora aproximamos a raiz quadrada manualmente: sabemos que 11^2=121 e 12^2=144, então \sqrt{136,5} fica entre 11 e 12. Calculando com mais precisão (método de aproximação/checagem),
\sigma \approx 11,684\ldots
Arredondando para duas casas decimais (forma usual), obtemos
\sigma \approx 11,68.

Passo 6

Calcular a variância e o desvio padrão amostral (caso os dados sejam uma amostra).
A variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = \frac{546}{4-1} = \frac{546}{3} = 182.
O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{182}.
Aproximando a raiz quadrada,
s \approx 13,4907\ldots
Arredondando para duas casas decimais,
s \approx 13,49.
Observação intuitiva: dividir por n-1 dá uma variância maior aqui, porque compensa o fato de que a média foi estimada a partir dos próprios dados — por isso o desvio amostral é maior que o populacional.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (pra te deixar confiante na prova):
  • Se na sua prova pedirem o desvio padrão considerando que os quatro números são toda a população, use o valor populacional \sigma (divisão por n): resultado cerca de 11,68.
  • Se pedirem o desvio padrão considerando que os quatro números são uma amostra de uma população maior (como em muitos problemas de inferência), use o valor amostral s (divisão por n-1): resultado cerca de 13,49.
Não se esqueça: verifique nas instruções da prova se o professor especificou “amostral” ou “populacional”. Se não disse, às vezes o esperado é o amostral; outras vezes é o populacional — siga o que foi usado nas aulas.

Resposta

Desvio padrão populacional: \sigma \approx 11,68
Desvio padrão amostral: s \approx 13,49

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