Questão 4

Durante o ano de 2020 foi realizado pelo Procon um levantamento de preços de dois itens da cesta básica nos 5 supermercados existentes uma pequena cidade. O resultado está apresentado na tabela abaixo (em R$) para alimentos da mesma marca.
Arroz (1 kg) 6,80 8,80 7,76 8,82 6,46 9,02
Feijão (1 kg) 8,10 7,80 9,04 8,30 7,58 10,98
a) Qual é a média, a variância e o desvio padrão dos preços de cada alimento.
b) Qual alimento apresenta os preços mais homogêneos?

Passo 1

O enunciado fornece os preços (em R$) de dois alimentos, todos da mesma marca, em 6 observações cada:
  • Arroz (1 kg): \;6,80,\;8,80,\;7,76,\;8,82,\;6,46,\;9,02.
  • Feijão (1 kg): \;8,10,\;7,80,\;9,04,\;8,30,\;7,58,\;10,98.
O que o problema pede:
  1. Calcular a média, a variância e o desvio padrão dos preços de cada alimento.
  2. Decidir qual alimento apresenta os preços mais homogêneos.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática curta antes de calcular).
  • Média: a média aritmética de um conjunto de n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
ou seja, soma-se todos os valores e divide-se por n. Aqui x_i é o preço do item i e n é o número de supermercados observados ( n=6).
  • Variância e desvio padrão: como o levantamento é um levantamento dos preços observados (os preços recolhidos), vamos tratá-los como a população observada. Para a variância populacional usa-se
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2,
onde \mu é a média populacional (aqui \mu=\bar{x}). O desvio padrão populacional é
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
(Interpretação simples: variância mede, em média, o quadrado da distância dos preços à média; desvio padrão é a raiz quadrada dessa medida, voltando à unidade original — reais.)
Vou aplicar essas fórmulas com n=6.

Passo 3

Cálculo da média do arroz.
Somando os preços do arroz:
\sum x_i = 6,80+8,80+7,76+8,82+6,46+9,02=47,66.
Número de observações: n=6.
Portanto a média é
\bar{x}_{\text{arroz}}=\frac{47,66}{6}=7,943333\ldots
Arredondando para duas casas centrais (útil para preços):
\bar{x}_{\text{arroz}}\approx 7,94\\ \text{(R\$)}.

Passo 4

Cálculo da variância populacional e do desvio padrão do arroz (passo a passo com os quadrados das diferenças).
Primeiro calcule cada diferença x_i-\bar{x}_{\text{arroz}} e seu quadrado:
  • Para x_1=6,80:
x_1-\bar{x}=6,80-7,943333\ldots=-1,143333\ldots
(x_1-\bar{x})^2\approx 1,307211111.
  • Para x_2=8,80:
x_2-\bar{x}=8,80-7,943333\ldots=0,856666\ldots
(x_2-\bar{x})^2\approx 0,733877778.
  • Para x_3=7,76:
x_3-\bar{x}=7,76-7,943333\ldots=-0,183333\ldots
(x_3-\bar{x})^2\approx 0,033611111.
  • Para x_4=8,82:
x_4-\bar{x}=8,82-7,943333\ldots=0,876666\ldots
(x_4-\bar{x})^2\approx 0,768544444.
  • Para x_5=6,46:
x_5-\bar{x}=6,46-7,943333\ldots=-1,483333\ldots
(x_5-\bar{x})^2\approx 2,200277778.
  • Para x_6=9,02:
x_6-\bar{x}=9,02-7,943333\ldots=1,076666\ldots
(x_6-\bar{x})^2\approx 1,159211111.
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^2\approx 6,202733333.
Variância populacional do arroz:
\sigma^2_{\text{arroz}}=\frac{1}{6}\cdot 6,202733333\approx 1,033788889.
Desvio padrão:
\sigma_{\text{arroz}}=\sqrt{1,033788889}\approx 1,01678.
Arredondando de forma prática:
\sigma^2_{\text{arroz}}\approx 1,03\;(\text{R\$}^2),\qquad \sigma_{\text{arroz}}\approx 1,02\;(\text{R\$}).

Passo 5

Cálculo da média do feijão.
Somando os preços do feijão:
\sum x_i = 8,10+7,80+9,04+8,30+7,58+10,98=51,80.
Número de observações: n=6.
Portanto a média é
\bar{x}_{\text{feijão}}=\frac{51,80}{6}=8,633333\ldotsã
Arredondando para duas casas:
\bar{x}_{\text{feijão}}\approx 8,63\\ \text{(R\$)}.ã

Passo 6

Cálculo da variância populacional e do desvio padrão do feijão (passo a passo).
Diferenças e quadrados:
  • x_1=8,10:
x_1-\bar{x}=8,10-8,633333\ldots=-0,533333\ldots
(x_1-\bar{x})^2\approx 0,284444444.
  • x_2=7,80:
x_2-\bar{x}=7,80-8,633333\ldots=-0,833333\ldots
(x_2-\bar{x})^2\approx 0,694444444.
  • x_3=9,04:
x_3-\bar{x}=9,04-8,633333\ldots=0,406666\ldots
(x_3-\bar{x})^2\approx 0,165377778.
  • x_4=8,30:
x_4-\bar{x}=8,30-8,633333\ldots=-0,333333\ldots
(x_4-\bar{x})^2\approx 0,111111111.
  • x_5=7,58:
x_5-\bar{x}=7,58-8,633333\ldots=-1,053333\ldots
(x_5-\bar{x})^2\approx 1,109511111.
  • x_6=10,98:
x_6-\bar{x}=10,98-8,633333\ldots=2,346666\ldots
(x_6-\bar{x})^2\approx 5,506844444.
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^6 (x_i-\bar{x})^2\approx 7,871733333.
Variância populacional do feijão:
\sigma^2_{\text{feijão}}=\frac{1}{6}\cdot 7,871733333\approx 1,311955556.ã
Desvio padrão:
\sigma_{\text{feijão}}=\sqrt{1,311955556}\approx 1,14541.ã
Arredondando de forma prática:
\sigma^2_{\text{feijão}}\approx 1,31\;(\text{R\$}^2),\qquad \sigma_{\text{feijão}}\approx 1,15\;(\text{R\$}).ãã

Passo 7

Comparação de homogeneidade (explicação e decisão).
  • Uma forma direta de comparar homogeneidade é olhar para a variância: quanto menor a variância, mais concentrados (homogêneos) estão os preços em torno da média.
  • Outra forma é usar o coeficiente de variação (CV), que é o desvio padrão dividido pela média: ele dá a dispersão relativa em percentagem e permite comparar variabilidade entre séries com médias diferentes. \text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}.
Cálculo rápido dos CVs (aproximações):
\text{CV}_{\text{arroz}}\approx\frac{1,01678}{7,94333}\approx 0,1280\\ (\text{ou }12,80\%).
\text{CV}_{\text{feijão}}\approx\frac{1,14541}{8,63333}\approx 0,1327\\ (\text{ou }13,27\%).ã
Resultado: tanto pela variância ( 1,03 contra 1,31) quanto pelo CV (aprox. 12{,}8\% contra 13{,}3\%), o arroz tem dispersão menor — portanto os preços do arroz são ligeiramente mais homogêneos que os do feijão.

Resposta

Arroz: média \bar{x}=7,94\\ \text{R\$}; variância \sigma^2\approx 1,03\\ \text{R\$}^2; desvio padrão \sigma\approx 1,02\\ \text{R\$}.
Feijão: média \bar{x}=8,63\\ \text{R\$}; variância \sigma^2\approx 1,31\\ \text{R\$}^2; desvio padrão \sigma\approx 1,15\\ \text{R\$}.
Alimento com preços mais homogêneos: Arroz.

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