Questão 4
Durante o ano de 2020 foi realizado pelo Procon um levantamento de preços de dois itens da cesta básica nos 5 supermercados existentes uma pequena cidade. O resultado está apresentado na tabela abaixo (em R$) para alimentos da mesma marca.
Arroz (1 kg)
6,80
8,80
7,76
8,82
6,46
9,02
Feijão (1 kg)
8,10
7,80
9,04
8,30
7,58
10,98
a) Qual é a média, a variância e o desvio padrão dos preços de cada alimento.
b) Qual alimento apresenta os preços mais homogêneos?
| Arroz (1 kg) | 6,80 | 8,80 | 7,76 | 8,82 | 6,46 | 9,02 |
| Feijão (1 kg) | 8,10 | 7,80 | 9,04 | 8,30 | 7,58 | 10,98 |
b) Qual alimento apresenta os preços mais homogêneos?
Passo 1
O enunciado fornece os preços (em R$) de dois alimentos, todos da mesma marca, em
observações cada:
- Arroz (1 kg):
. - Feijão (1 kg):
.
O que o problema pede:
- Calcular a média, a variância e o desvio padrão dos preços de cada alimento.
- Decidir qual alimento apresenta os preços mais homogêneos.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação didática curta antes de calcular).
- Média: a média aritmética de um conjunto de
observações é
ou seja, soma-se todos os valores e divide-se por
. Aqui
é o preço do item
e
é o número de supermercados observados (
).
- Variância e desvio padrão: como o levantamento é um levantamento dos preços observados (os preços recolhidos), vamos tratá-los como a população observada. Para a variância populacional usa-se
onde
é a média populacional (aqui
). O desvio padrão populacional é
(Interpretação simples: variância mede, em média, o quadrado da distância dos preços à média; desvio padrão é a raiz quadrada dessa medida, voltando à unidade original — reais.)
Vou aplicar essas fórmulas com
.
Passo 3
Cálculo da média do arroz.
Somando os preços do arroz:
Número de observações:
.
Portanto a média é
Arredondando para duas casas centrais (útil para preços):
Passo 4
Cálculo da variância populacional e do desvio padrão do arroz (passo a passo com os quadrados das diferenças).
Primeiro calcule cada diferença
e seu quadrado:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando os quadrados:
Variância populacional do arroz:
Desvio padrão:
Arredondando de forma prática:
Passo 5
Cálculo da média do feijão.
Somando os preços do feijão:
Número de observações:
.
Portanto a média é
Arredondando para duas casas:
Passo 6
Cálculo da variância populacional e do desvio padrão do feijão (passo a passo).
Diferenças e quadrados:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Somando os quadrados:
Variância populacional do feijão:
Desvio padrão:
Arredondando de forma prática:
Passo 7
Comparação de homogeneidade (explicação e decisão).
- Uma forma direta de comparar homogeneidade é olhar para a variância: quanto menor a variância, mais concentrados (homogêneos) estão os preços em torno da média.
- Outra forma é usar o coeficiente de variação (CV), que é o desvio padrão dividido pela média: ele dá a dispersão relativa em percentagem e permite comparar variabilidade entre séries com médias diferentes.
Cálculo rápido dos CVs (aproximações):
Resultado: tanto pela variância (
contra
) quanto pelo CV (aprox.
contra
), o arroz tem dispersão menor — portanto os preços do arroz são ligeiramente mais homogêneos que os do feijão.
Resposta
Arroz: média
; variância
; desvio padrão
.
Feijão: média ; variância
; desvio padrão
.
Alimento com preços mais homogêneos: Arroz.
Feijão: média
Alimento com preços mais homogêneos: Arroz.