Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & -5 & -4 & -7 & -4 \\\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & -7 & -7 & -9 & -9\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A=\left(\begin{array}{rrrrr} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -2 & -5 & -4 & -7 & -4 \\\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & -7 & -7 & -9 & -9 \end{array}\right).
Informações relevantes fornecidas:
\;1) A matriz é 5\times5.
\;2) O enunciado dá a dica: “Calcule via escalonamento” (eliminação por operações de linhas).
\;3) As opções de resposta são os inteiros 2,3,4,5,6,7,8,9 (ou seja, espere um inteiro pequeno).

Passo 2

Antes de começar o escalonamento, vamos rever propriedades de operações com linhas que afetam o determinante — porque preciso controlar o sinal/escala do determinante conforme mexemos nas linhas:
\text{(P1) } \text{Trocar duas linhas: multiplica o determinante por } -1.
\text{(P2) } \text{Somar a uma linha um múltiplo de outra linha: NÃO altera o determinante.}úÃ
\text{(P3) } \text{Multiplicar uma linha por } c\neq0 \text{: multiplica o determinante por } c.
Na prática, no escalonamento é comum usar somente a operação (P2) (que não altera o determinante) e, às vezes, trocar linhas (P1). Se eu trocar linhas, preciso lembrar de multiplicar por -1 por cada troca feita.

Passo 3

Começo o escalonamento. É conveniente ter um pivô não nulo na primeira linha; como a primeira linha de A tem zero na primeira coluna, vou trocar a linha 1 com a linha 2. Faço uma troca:
R_1 \longleftrightarrow R_2.
Uma troca muda o sinal do determinante, então se chamarmos B a matriz após a troca, valem
\det(A) = -\det(B).
A matriz B fica:
B=\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ -2 & -5 & -4 & -7 & -4 \\\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 0 \\\\ -1 & -7 & -7 & -9 & -9 \end{array}\right).

Passo 4

Elimino entradas abaixo do pivô 1 na coluna 1 usando apenas a operação (P2) — somar múltiplos da primeira linha às outras:
R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1,\qquad R_5 \leftarrow R_5 + R_1.
Calculemos cada uma:
  • R_3 = [-2,-5,-4,-7,-4] + 2[1,1,1,1,1] = [0,-3,-2,-5,-2].
  • R_4 = [2,-1,-1,1,0] - 2[1,1,1,1,1] = [0,-3,-3,-1,-2].
  • R_5 = [-1,-7,-7,-9,-9] + [1,1,1,1,1] = [0,-6,-6,-8,-8].
A matriz fica
\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -3 & -2 & -5 & -2 \\\\ 0 & -3 & -3 & -1 & -2 \\\\ 0 & -6 & -6 & -8 & -8 \end{array}\right).
Observe que, até aqui, usei apenas somas de múltiplos de linhas (P2), portanto o determinante de B não mudou.

Passo 5

Agora uso o pivô 3 em posição (2,2) para zerar as entradas abaixo na coluna 2. Faço:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + R_2,\qquad R_5 \leftarrow R_5 + 2R_2.
Calculando:
  • R_3 = [0,-3,-2,-5,-2] + [0,3,3,3,3] = [0,0,1,-2,1].
  • R_4 = [0,-3,-3,-1,-2] + [0,3,3,3,3] = [0,0,0,2,1].
  • R_5 = [0,-6,-6,-8,-8] + 2[0,3,3,3,3] = [0,0,0,-2,-2].
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2 \end{array}\right).
Ainda usei apenas operações do tipo (P2), então \det(B) continua o mesmo.

Passo 6

Agora usemos o pivô 2 em posição (4,4) para zerar a entrada -2 em (5,4). Faço:
R_5 \leftarrow R_5 + R_4.
Calculando:
  • R_5 = [0,0,0,-2,-2] + [0,0,0,2,1] = [0,0,0,0,-1].
A matriz está agora em forma triangular superior:
\left(\begin{array}{rrrrr} 1 & * & * & * & * \\\\ 0 & 3 & * & * & * \\\\ 0 & 0 & 1 & * & * \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & * \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right).

Passo 7

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto
\det(B) = 1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -6.
Lembre que fizemos uma troca de linhas no Passo 3 ao passar de A para B, e isso inverteu o sinal. Assim
\det(A) = -\det(B) = -(-6) = 6.

Resposta

\text{(E)}\quad 6

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