É dado que \det(A)=-1.
O que se pede: calcular \det(B).
Passo 2
Interpretação matricial das combinações lineares: cada coluna \vec{b}_{j} é combinação linear das colunas de A. Isso significa que existe uma matriz C tal que
B = A C,
onde as colunas de C são os vetores de coeficientes das combinações acima. Escrevendo explicitamente C a partir dos coeficientes:
pois, por exemplo, a primeira coluna de C é \begin{pmatrix}7\\\ 7\\\ 5\end{pmatrix} correspondente a \vec{b}_{1}, etc.
Passo 3
Fato útil sobre determinantes (mini-aula): para matrizes quadradas X e Y compatíveis, vale a propriedade
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Aqui X e Y são matrizes 3\times3. Aplicando essa propriedade a B=AC obtemos
\det(B)=\det(A)\det\text{(C)}.
Explicando as variáveis: \det(A) é o determinante da matriz A, dado no enunciado; \det\text{(C)} é o determinante da matriz de coeficientes C que construímos no passo anterior.
Vou simplificar por operações elementares de linhas que preservam o determinante: substituir R_2 por R_2-R_1 e R_3 por R_3-R_1. Essas operações (somar múltiplo de outra linha) não alteram o valor do determinante. Aplicando:
Agora calculo o determinante da matriz simplificada. É conveniente expandir pela segunda linha (R_2), porque tem apenas um elemento não nulo simples. Pela fórmula da expansão por cofatores: