Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=7 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3} \quad e \quad \vec{b}_{3}=5 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-1, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -4
(B) -5
(C) -6
(D) -7
(E) -8
(F) -9
(G) -10
(H) -11

Passo 1

O enunciado fornece as colunas de duas matrizes A e B em \mathbb{R}^{3}. As informações relevantes são:
  • As colunas de A são os vetores \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}.
  • As colunas de B são \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}, com as relações
\vec{b}_{1}=7\vec{a}_{1}+7\vec{a}_{2}+5\vec{a}_{3},\qquad \vec{b}_{2}=5\vec{a}_{1}+7\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3},\qquad \vec{b}_{3}=5\vec{a}_{1}+5\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3}.
  • É dado que \det(A)=-1.
    O que se pede: calcular \det(B).

Passo 2

Interpretação matricial das combinações lineares: cada coluna \vec{b}_{j} é combinação linear das colunas de A. Isso significa que existe uma matriz C tal que
B = A C,
onde as colunas de C são os vetores de coeficientes das combinações acima. Escrevendo explicitamente C a partir dos coeficientes:
C = \begin{pmatrix} 7 & 5 & 5 \\\\ 7 & 7 & 5 \\\\ 5 & 4 & 4 \end{pmatrix},
pois, por exemplo, a primeira coluna de C é \begin{pmatrix}7\\\ 7\\\ 5\end{pmatrix} correspondente a \vec{b}_{1}, etc.

Passo 3

Fato útil sobre determinantes (mini-aula): para matrizes quadradas X e Y compatíveis, vale a propriedade
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Aqui X e Y são matrizes 3\times3. Aplicando essa propriedade a B=AC obtemos
\det(B)=\det(A)\det\text{(C)}.
Explicando as variáveis: \det(A) é o determinante da matriz A, dado no enunciado; \det\text{(C)} é o determinante da matriz de coeficientes C que construímos no passo anterior.

Passo 4

Substituindo \det(A)=-1 na relação anterior:
\det(B) = (-1)\cdot \det\text{(C)} = -\det\text{(C)}.
Portanto só precisamos calcular \det\text{(C)} para então obter \det(B).

Passo 5

Cálculo de \det\text{(C)}. Apresento a matriz C novamente:
C = \begin{pmatrix} 7 & 5 & 5 \\\\ 7 & 7 & 5 \\\\ 5 & 4 & 4 \end{pmatrix}.
Vou simplificar por operações elementares de linhas que preservam o determinante: substituir R_2 por R_2-R_1 e R_3 por R_3-R_1. Essas operações (somar múltiplo de outra linha) não alteram o valor do determinante. Aplicando:
\begin{pmatrix} 7 & 5 & 5 \\\\ 7 & 7 & 5 \\\\ 5 & 4 & 4 \end{pmatrix} \overset{R_2\leftarrow R_2-R_1,\;R_3\leftarrow R_3-R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 7 & 5 & 5 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora calculo o determinante da matriz simplificada. É conveniente expandir pela segunda linha ( R_2), porque tem apenas um elemento não nulo simples. Pela fórmula da expansão por cofatores:
\det\text{(C)} = (0)\cdot(\text{cof}_{21}) + (2)\cdot(\text{cof}_{22}) + (0)\cdot(\text{cof}_{23}).
Portanto só precisamos da cofator \text{cof}_{22}. O menor correspondente (matriz que sobra ao eliminar linha 2 e coluna 2) é
\begin{pmatrix} 7 & 5 \\\\ -2 & -1 \end{pmatrix}.
O determinante desse menor é
7\cdot(-1) - 5\cdot(-2) = -7 + 10 = 3.
O cofator tem sinal (-1)^{2+2}=+1, então \text{cof}_{22}=3. Logo
\det\text{(C)} = 2\cdot 3 = 6.

Passo 7

Voltando à relação do passo 4:
\det(B) = -\det\text{(C)} = -6.
Interpretação final: o determinante de B é -6. Bora ficar tranquilo — chegamos lá!

Resposta

-6

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