Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n \operatorname{com} \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A é injetiva.
II - O conjunto de colunas de A gera o \mathbb{R}^{n}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada n\times n com \det A = 0. Pergunta-se sobre duas afirmativas:
I - A é injetiva.
II - O conjunto de colunas de A gera o \mathbb{R}^{n}.
Informações relevantes dadas:
  • A é quadrada de ordem n.
  • \det A = 0.
O que precisamos decidir: cada uma das afirmativas I e II é verdadeira ou falsa, e assim escolher a alternativa correta entre (A)–(D).

Passo 2

Vou recordar conceitos importantes (passo-a-passo e sem pular etapas):
Definição de injetividade para uma transformação linear: se interpretarmos A como a transformação linear T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n dada por T(x)=Ax, dizer que T é injetiva significa que
T(x)=0 \implies x=0.
Em termos de matrizes, isto equivale a dizer que o núcleo (kernel) de A é trivial: \ker A = \{0\}.
Definição de "colunas de A geram \mathbb{R}^n": significa que o espaço gerado pelas colunas de A (coluna-espaço ou imagem de T) é todo \mathbb{R}^n; em símbolos,
\operatorname{Col}(A)=\mathbb{R}^n.
Isso é equivalente a dizer que \operatorname{rank}(A)=n.

Passo 3

Relação entre determinante e posto (rank):
Para uma matriz quadrada n\times n valem as equivalências clássicas:
  • \det A \neq 0 se e somente se \operatorname{rank}(A)=n.
  • \det A \neq 0 se e somente se A é invertível.
  • Se A é invertível, então a transformação T(x)=Ax é bijetora (logo injetiva e sobrejetiva).
Logo, o contrarrecíproco: se \det A = 0 então \operatorname{rank}(A) < n e A não é invertível.
Eu explico por que: \det A = 0 indica que as colunas de A são linearmente dependentes, então não há como ter n vetores independentes em \mathbb{R}^n, portanto o posto é estritamente menor que n.

Passo 4

Consequência para a afirmação I (injetividade):
Injetividade de T(x)=Ax equivale a \ker A = \{0\}. Para matrizes quadradas, ter \ker A=\{0\} é equivalente a \operatorname{rank}(A)=n (teorema da dimensão: \dim\ker A + \dim\operatorname{im} A = n). Como já temos que \det A = 0 implica \operatorname{rank}(A) < n, segue que \dim\ker A > 0. Ou seja, existe x\neq 0 tal que Ax=0. Portanto A não é injetiva.
Resumo: com \det A = 0 a afirmação I é falsa.

Passo 5

Consequência para a afirmação II (colunas geram \mathbb{R}^n):
Dizer que as colunas geram \mathbb{R}^n significa \operatorname{rank}(A)=n. Mas como \det A = 0 implica \operatorname{rank}(A) < n, então as colunas NÃO geram o \mathbb{R}^n. Logo a afirmação II também é falsa.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a intuição (bem passo-a-passo):
Considere a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui \det A = 1\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0. As colunas são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}; essas colunas não geram \mathbb{R}^2 (geram apenas o eixo x). Além disso A\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}, então existe vetor diferente de zero que vai para zero — A não é injetiva. Esse exemplo confirma as conclusões anteriores.]

Passo 7

Conclusão final: ambas as afirmativas I e II são falsas quando \det A = 0. Portanto a alternativa correta é a letra correspondente a “Todas são falsas”.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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