Q4: Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I -
é injetiva.
II - O conjunto de colunas de
gera o
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I -
II - O conjunto de colunas de
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada
com
. Pergunta-se sobre duas afirmativas:
I - é injetiva.
II - O conjunto de colunas de gera o
.
I -
II - O conjunto de colunas de
Informações relevantes dadas:
-
é quadrada de ordem . -
.
O que precisamos decidir: cada uma das afirmativas I e II é verdadeira ou falsa, e assim escolher a alternativa correta entre (A)–(D).
Passo 2
Vou recordar conceitos importantes (passo-a-passo e sem pular etapas):
Definição de injetividade para uma transformação linear: se interpretarmos
como a transformação linear
dada por
, dizer que
é injetiva significa que
Em termos de matrizes, isto equivale a dizer que o núcleo (kernel) de
é trivial:
.
Definição de "colunas de
geram
": significa que o espaço gerado pelas colunas de
(coluna-espaço ou imagem de
) é todo
; em símbolos,
Isso é equivalente a dizer que
.
Passo 3
Relação entre determinante e posto (rank):
Para uma matriz quadrada
valem as equivalências clássicas:
-
se e somente se . -
se e somente se é invertível. - Se
é invertível, então a transformação é bijetora (logo injetiva e sobrejetiva).
Logo, o contrarrecíproco: se
então
e
não é invertível.
Eu explico por que:
indica que as colunas de
são linearmente dependentes, então não há como ter
vetores independentes em
, portanto o posto é estritamente menor que
.
Passo 4
Consequência para a afirmação I (injetividade):
Injetividade de
equivale a
. Para matrizes quadradas, ter
é equivalente a
(teorema da dimensão:
). Como já temos que
implica
, segue que
. Ou seja, existe
tal que
. Portanto
não é injetiva.
Resumo: com
a afirmação I é falsa.
Passo 5
Consequência para a afirmação II (colunas geram
):
Dizer que as colunas geram
significa
. Mas como
implica
, então as colunas NÃO geram o
. Logo a afirmação II também é falsa.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a intuição (bem passo-a-passo):
Considere a matriz
Aqui
. As colunas são
e
; essas colunas não geram
(geram apenas o eixo
). Além disso
, então existe vetor diferente de zero que vai para zero —
não é injetiva. Esse exemplo confirma as conclusões anteriores.]
Passo 7
Conclusão final: ambas as afirmativas I e II são falsas quando
. Portanto a alternativa correta é a letra correspondente a “Todas são falsas”.
Resposta
(A) Todas são falsas.