Encontre (b) p r o j_{u} v. Use o produto interno euclidiano.
u=(1,2,-1), v=(-1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \operatorname{proj}_{u} v usando o produto interno euclidiano.
Dados fornecidos:
u=(1,2,-1),\qquad v=(-1,2,-1).
As perguntas são: qual é o vetor projeção de v sobre u?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (é padrão para projeção em \mathbb{R}^n):
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • \langle v,u\rangle é o produto interno euclidiano entre v e u, que em coordenadas é o produto escalar v\cdot u.
  • \langle u,u\rangle é o produto interno de u por si mesmo, que coincide com \|u\|^2 (o quadrado da norma de u).
  • O quociente \dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle} é um escalar; multiplicamos esse escalar por u para obter a projeção.
    Também lembro a definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), então
\langle a,b\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.

Passo 3

Calcular \langle v,u\rangle passo a passo, multiplicando coordenadas e somando:
\langle v,u\rangle = (-1)\cdot 1 + 2\cdot 2 + (-1)\cdot(-1).
Compute cada termo:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 2\cdot 2 = 4,\qquad (-1)\cdot(-1)=1.
Somando:
\langle v,u\rangle = -1 + 4 + 1 = 4.

Passo 4

Calcular \langle u,u\rangle (o quadrado da norma de u):
\langle u,u\rangle = 1^2 + 2^2 + (-1)^2.
Compute cada termo:
1^2 = 1,\qquad 2^2 = 4,\qquad (-1)^2 = 1.
Somando:
\langle u,u\rangle = 1 + 4 + 1 = 6.

Passo 5

Calcular o coeficiente escalar da projeção:
\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
Expliquei a simplificação: 4/6 divide-se numerador e denominador por 2 para obter 2/3.

Passo 6

Expressar a projeção como esse escalar vezes u:
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{2}{3}\,u.
Isso é prático porque basta multiplicar cada coordenada de u por \tfrac{2}{3} para obter a projeção (o resultado numérico ficará na seção de respostas).

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): a diferença v - \operatorname{proj}_{u} v deve ser ortogonal a u. Vamos checar usando produtos internos, sem calcular componentes explícitos:
\bigl(v - \tfrac{2}{3}u\bigr)\cdot u = \langle v,u\rangle - \tfrac{2}{3}\langle u,u\rangle = 4 - \tfrac{2}{3}\cdot 6 = 4 - 4 = 0.
Como o produto interno deu 0, a verificação bate: o vetor residual é ortogonal a u, então a projeção está consistente.

Passo 8

Dica rápida para a prova: calcule primeiro os dois produtos escalares ( \langle v,u\rangle e \langle u,u\rangle), simplifique a fração e depois multiplique o escalar por u. Isso evita erros de sinal e economiza tempo. Força aí — você consegue!

Resposta

\operatorname{proj}_{u} v = \left(\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3}\right)

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