Encontre (b)
. Use o produto interno euclidiano.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
usando o produto interno euclidiano.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
As perguntas são: qual é o vetor projeção de
sobre
?
Passo 2
Fórmula que vamos usar (é padrão para projeção em
):
Explicando cada símbolo de forma simples:
-
é o produto interno euclidiano entre e , que em coordenadas é o produto escalar . -
é o produto interno de por si mesmo, que coincide com (o quadrado da norma de ). - O quociente
é um escalar; multiplicamos esse escalar por para obter a projeção.
Também lembro a definição do produto escalar em: se e , então
Passo 3
Calcular
passo a passo, multiplicando coordenadas e somando:
Compute cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular
(o quadrado da norma de
):
Compute cada termo:
Somando:
Passo 5
Calcular o coeficiente escalar da projeção:
Expliquei a simplificação:
divide-se numerador e denominador por
para obter
.
Passo 6
Expressar a projeção como esse escalar vezes
:
Isso é prático porque basta multiplicar cada coordenada de
por
para obter a projeção (o resultado numérico ficará na seção de respostas).
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): a diferença
deve ser ortogonal a
. Vamos checar usando produtos internos, sem calcular componentes explícitos:
Como o produto interno deu
, a verificação bate: o vetor residual é ortogonal a
, então a projeção está consistente.
Passo 8
Dica rápida para a prova: calcule primeiro os dois produtos escalares (
e
), simplifique a fração e depois multiplique o escalar por
. Isso evita erros de sinal e economiza tempo. Força aí — você consegue!