Calcule usando expansão em cofatores ao longo de alguma linha ou coluna de sua preferência.
Passo 1
O enunciado pede para calcular det(A) de uma matriz 3times3 usando expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de nossa escolha. Vamos usar a segunda linha, pois nela há um zero, o que simplifica os cálculos. O conteúdo da matéria é expansão por cofactores:
det(A)=sumj=1^3aijCij, Cij=(-1)^i+jMij,
onde Mij é o determinante do menor obtido eliminando-se a linha i e a coluna j.
Passo 2
Para o elemento a21=1 (linha 2, coluna 1), o sinal do cofator é
(-1)^2+1 = -1
e o menor M21 é o determinante da matriz que sobra ao eliminar a linha 2 e a coluna 1:
3 & 1 -3 & 5 =3cdot5 - 1cdot(-3)=15+3=18
Logo o cofator é
C21=(-1)times18=-18
e a contribuição de a21 para o determinante é
a21C21=1cdot(-18)=-18
Passo 3
O elemento a22=0 gera contribuição nula, pois
a22C22=0cdot(cdot)=0
Passo 4
Para o elemento a23=-4 (linha 2, coluna 3), o sinal do cofator é
(-1)^2+3 = -1
e o menor M23 é
3 & 3 1 & -3 =3cdot(-3)-3cdot1=-9-3=-12
Assim
C23=(-1)times(-12)=12
e a contribuição é
a23C23=(-4)cdot12=-48
Passo 5
Somando as contribuições dos cofatores ao longo da segunda linha, temos