Calcule os seguintes determinantes com uma expansão em cofatores ao longo da uma linha ou coluna de sua escolha.
ccccc0 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5times5 com todos os elementos nulos, exceto na anti-diagonal. Vamos usar expansão em cofatores ao longo de linhas que contenham muitos zeros, para simplificar os cálculos.

Passo 2

Escolhemos a primeira linha, que só tem o elemento -3 em (1,5). Assim,
det A ;=; (-1)^1+5cdot(-3)cdotdet M ;=; -3,det M,
pois (-1)^6=1. Aqui M é a submatriz de ordem 4 obtida removendo a primeira linha e a quinta coluna de A.

Passo 3

A matriz M é
M= 0 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 0 5 & 0 & 0 & 0
e só tem -4 em (1,4). Expandindo na primeira linha,
det M ;=; (-1)^1+4cdot(-4)cdotdet N ;=; 4,det N,
onde N é a submatriz 3times3 resultante de eliminar a linha 1 e a coluna 4 de M.

Passo 4

A matriz N é
N= 0 & 0 & -1 0 & 2 & 0 5 & 0 & 0
com único não-zero -1 em (1,3). Expandindo na primeira linha,
det N ;=; (-1)^1+3cdot(-1)cdotdet P ;=; -det P,
onde
P = 0 & 2 5 & 0
Calculamos
det P = 0cdot0 - 2cdot5 = -10,
logo det N = -(-10)=10. Assim det M = 4cdot10=40 e
det A = -3cdot40 = -120.

Resposta

-120

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