Calcule o determinante:
|cccc-4 & -9 & 9 & 2 -2 & 5 & 6 & 4 1 & 2 & -5 & -3 1 & -2 & 0 & -2|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = -4 & -9 & 9 & 2 -2 & 5 & 6 & 4 1 & 2 & -5& -3 1 & -2 & 0 & -2
O conteúdo aqui é determinante de matriz 4times4. Podemos usar operações elementares de linha para reduzir a matriz a uma forma triangular, lembrando que trocar duas linhas muda o sinal do determinante e que operações do tipo Rito Ri+kRj não alteram o valor do determinante.

Passo 2

Para simplificar as contas, trocamos R1rightarrow R2. Isso inverte o sinal do determinante. A nova matriz é
A'= -2 & 5 & 6 & 4 -4 & -9 & 9 & 2 1 & 2 & -5& -3 1 & -2 & 0 & -2 ,
e valendo
det(A) = -,det(A')

Passo 3

Usando como pivô o elemento -2 de R1, zeramos a primeira coluna em R2,R3,R4 pelas operações
R2 R2-2R1, R3 R3+tfrac12R1, R4 R4+tfrac12R1
Isso leva a
A''= -2 & 5 & 6 & 4 0 & -19 & -3 & -6 0 & 9/2 & -2 & -1 0 & 1/2 & 3 & 0
Como estas operações não mudam o determinante, continua valendo det(A)=-det(A'').

Passo 4

Agora A'' tem bloco triangular, então
det(A'') = (-2),det(M),
onde M é o menor 3times3 obtido pelas colunas 2,3,4 e linhas 2,3,4:
M = -19 & -3 & -6 tfrac92 & -2 & -1 tfrac12 & 3 & 0
Logo
det(A) = -det(A'') = -l(-2,det(M)r) = 2,det(M)

Passo 5

Para calcular det(M) sem lidar com muitas frações, multiplicamos R2 e R3 por 2. Isso multiplica o determinante por 2cdot2=4. Denotemos
F= -19 & -3 & -6 9 & -4 & -2 1 & 6 & 0 ,
então det(F)=4,det(M) e
det(A)=2,det(M)=2;det(F)4=det(F)2

Passo 6

Calculamos det(F) por expansão:
det(F) = -19-4 & -26 & 0 -(-3)9 & -21 & 0 +(-6)9 & -41 & 6
Cada menor vale:
-4 & -26 & 0 =(-4)cdot0-(-2)cdot6=12, 9 & -21 & 0 =9cdot0-(-2)cdot1=2,
9 & -41 & 6 =9cdot6-(-4)cdot1=58
Substituindo:
det(F) = -19cdot12 +3cdot2 -6cdot58 = -228 +6 -348 = -570
Portanto
det(A)=det(F)2=-5702=-285

Resposta

-285

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