Calcule, detalhadamente, as seguintes integrais:
(A) (10 pontos) integral0^1(x^2+1)^4 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1l(x^2+1r)^4,x,dx
O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição: quando enxergamos uma função composta (x^2+1)^4 cuja derivada interna aparece (o x em x,dx), podemos simplificar a integral trocando de variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^2+1
Como tfracdudx=2x, temos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Isso elimina o x,dx e transforma (x^2+1)^4 em u^4.

Passo 3

Vamos ajustar os limites de integração segundo u. Quando x=0,
u = 0^2+1 = 1
Quando x=1,
u = 1^2+1 = 2

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^1l(x^2+1r)^4,x,dx = integralu=1^u=2u^4,du2 = 12integral1^2u^4,du

Passo 5

Agora integramos o polinômio u^4:
integral u^4,du = u^55
Logo,
12integral1^2u^4,du = 12,gl[u^55gr]1^2 = 110l(2^5-1^5r) = 110(32-1) = 3110

Resposta

3110

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