Calcule detalhadamente as seguintes integrais: ( 2.5 pontos)
integral raiz2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raiz2x+1,dx
O conteúdo aqui é integração de potência por substituição. Vamos usar a substituição para transformar o integrando numa potência simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1,
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du = 2,dx Longrightarrow dx = du2

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral raiz2x+1,dx = integral raizu,du2 = 12 integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos a potência u^tfrac12:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32

Passo 5

Voltando à nossa integral original, multiplicamos pelo fator tfrac12:
12 integral u^tfrac12,du = 12 cdot 23,u^tfrac32 = 13,u^tfrac32

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x usando u=2x+1:
integral raiz2x+1,dx = 13,(2x+1)^tfrac32 + C

Resposta

integral raiz2x+1,dx = 13,(2x+1)^tfrac32 + C

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