Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty(1n^2+n-ln nn+1)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos testar a convergência da série
sumn=1^inftyl(1n^2+n-lnnn+1r)
Conteúdo: séries numéricas e soma telescópica.

Passo 2

Repare que
1n^2+n=1n(n+1)=1n-1n+1,
e
lnnn+1=ln n-ln(n+1)
Definindo a soma parcial SN=sumn=1^Nl(tfrac1n^2+n-lntfracnn+1r), temos
SN=sumn=1^Nl(1n-1n+1r);-;sumn=1^Nl(ln n-ln(n+1)r)

Passo 3

Cada uma das duas somas telescopa:
sumn=1^Nl(1n-1n+1r) =1-1N+1,
sumn=1^Nl(ln n-ln(n+1)r) =-ln(N+1)
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SN =l(1-1N+1r)-l(-ln(N+1)r) =1-1N+1+ln(N+1)
Como limNtoinftySN=+infty, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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