Calcule detalhadamente os seguintes limites:
, onde
é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular dois limites envolvendo uma expressão com potências, onde $ x $ vai para mais ou menos infinito. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo de limites, mais especificamente limites que resultam em expressões exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular potências e usar algumas propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no limite quando $ x $ tende a $ +\infty $. A expressão que temos é:
Aqui, queremos saber para qual valor essa expressão se aproxima quando $ x $ fica muito grande.
Passo 3
Sabemos que existe uma propriedade importante dos limites que diz que:
Onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Essa propriedade é útil porque a nossa expressão se parece bastante com ela.
Passo 4
Vamos tentar ajustar a nossa expressão para se parecer com a propriedade acima. Observamos que:
Quando $ x $ tende a $ +\infty $, o termo $ \frac{b}{x} $ tende a 0, então:
Portanto, nossa expressão fica aproximadamente:
Que, pela propriedade que mencionamos, tende a $ e $.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando $ x $ tende a $ -\infty $:
Aqui, $ x + b $ também tende a $ -\infty $ quando $ x $ tende a $ -\infty $.
Passo 6
Vamos reescrever a expressão de forma semelhante ao que fizemos antes:
Novamente, quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ \frac{b}{x} $ tende a 0, então:
Mas agora, $ x $ é negativo e grande em módulo, então temos uma base ligeiramente menor que 1 elevada a um expoente negativo grande.
Passo 7
Usando uma propriedade similar à anterior, mas considerando que $ x $ é negativo:
Porque a estrutura é similar, mas o $ x $ negativo inverte o sinal no expoente.