Calcule detalhadamente os seguintes limites:
lim x pm infty(1+1x+b)^x, onde b é um número real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular dois limites envolvendo uma expressão com potências, onde $ x $ vai para mais ou menos infinito. A matéria que estamos trabalhando aqui é o cálculo de limites, mais especificamente limites que resultam em expressões exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular potências e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no limite quando $ x $ tende a $ +\infty $. A expressão que temos é:
x
Aqui, queremos saber para qual valor essa expressão se aproxima quando $ x $ fica muito grande.

Passo 3

Sabemos que existe uma propriedade importante dos limites que diz que:
limn infty (1 + an)^n = e^a
Onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Essa propriedade é útil porque a nossa expressão se parece bastante com ela.

Passo 4

Vamos tentar ajustar a nossa expressão para se parecer com a propriedade acima. Observamos que:
1 + 1x + b = 1 + 1x(xx + b) = 1 + 1x(11 + bx)
Quando $ x $ tende a $ +\infty $, o termo $ \frac{b}{x} $ tende a 0, então:
x
Portanto, nossa expressão fica aproximadamente:
+infty
Que, pela propriedade que mencionamos, tende a $ e $.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando $ x $ tende a $ -\infty $:
x
Aqui, $ x + b $ também tende a $ -\infty $ quando $ x $ tende a $ -\infty $.

Passo 6

Vamos reescrever a expressão de forma semelhante ao que fizemos antes:
1 + 1x + b = 1 + 1x(xx + b) = 1 + 1x(11 + bx)
Novamente, quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ \frac{b}{x} $ tende a 0, então:
x
Mas agora, $ x $ é negativo e grande em módulo, então temos uma base ligeiramente menor que 1 elevada a um expoente negativo grande.

Passo 7

Usando uma propriedade similar à anterior, mas considerando que $ x $ é negativo:
x
Porque a estrutura é similar, mas o $ x $ negativo inverte o sinal no expoente.

Resposta

limx +infty (1 + 1x + b)^x = e
limx -infty (1 + 1x + b)^x = 1e

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