Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
f(x, y)=x^2+9 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente analisar a função $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $. Vamos precisar entender sobre domínio e imagem, curvas de nível, interseções com os planos coordenados e esboçar o gráfico dessa função. Basicamente, vamos explorar onde a função está “valendo” (domínio e imagem), como ela se comporta para diferentes valores, onde ela cruza os eixos e, por fim, desenhar uma representação visual dela.

Passo 2

Dominio e Imagem
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. No caso de $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $, não temos restrições como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano f(x, y) = x^2 + 9y^2 .
Agora, a imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Vamos analisar:
R^2
Como $ x^{2} $ e $ 9y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero (já que estamos elevando ao quadrado), a soma também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, a imagem é f(x, y) .

Passo 3

Curvas de Nível
As curvas de nível são conjuntos de pontos (x, y) que dão o mesmo valor para a função $ f(x, y) $. Ou seja, fixamos $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante.
Vamos resolver:
f(x, y)
Essa é a equação de uma elipse quando $ c > 0 $. Mais especificamente, podemos reescrever como:
f(x, y) = c
Isso mostra que, para cada valor de $ c $, temos uma elipse com semi-eixos de $ \sqrt{c} $ e $ \sqrt{c/9} = \sqrt{c}/3 $.
Portanto, as curvas de nível são elipses centradas na origem.

Passo 4

Interseção com os Planos Coordenados
Vamos encontrar onde a superfície $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $ intersecta os planos coordenados:
  1. Plano $ xy $: Aqui, $ z = 0 $. Então:
f(x, y) = x^2 + 9y^2
A única solução é $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Portanto, a interseção é apenas o ponto (0, 0, 0).
  1. Plano $ xz $: Aqui, $ y = 0 $. Substituindo na função:
xy
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima no plano $ xz $.
  1. Plano $ yz $: Aqui, $ x = 0 $. Substituindo na função:
z = 0
Essa também é uma parábola que abre para cima, mas mais “esticada” devido ao coeficiente 9.

Passo 5

Esboço do Gráfico
Vamos imaginar o gráfico da função $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $:
  • Forma Geral: Como vimos, é uma elipse nas curvas de nível, o que indica que a superfície é uma paraboloide elíptica.
  • Curvatura: É uma superfície curva que se abre para cima, sendo mais “esticada” na direção do eixo $ y $ devido ao coeficiente 9.
  • Interseções: Passando pela origem e com parábolas no planos $ xz $ e $ yz $.
Se você imaginar uma tigela, essa superfície se parece com isso, mas mais esticada na direção vertical.

Resposta

Resumindo:
  • Domínio: Todo o plano R^2.
  • Imagem: [0, +infty).
  • Curvas de Nível: Elipses centradas na origem para cada $ c > 0 $.
  • Interseções com os Planos Coordenados:
    • Plano $ xy $: Ponto (0, 0, 0).
    • Plano $ xz $: Parábola $ z = x^{2} $.
    • Plano $ yz $: Parábola $ z = 9y^{2} $.
  • Gráfico: Uma paraboloide elíptica, semelhante a uma tigela esticada na direção vertical.

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