Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente analisar a função $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $. Vamos precisar entender sobre domínio e imagem, curvas de nível, interseções com os planos coordenados e esboçar o gráfico dessa função. Basicamente, vamos explorar onde a função está “valendo” (domínio e imagem), como ela se comporta para diferentes valores, onde ela cruza os eixos e, por fim, desenhar uma representação visual dela.
Passo 2
Dominio e Imagem
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso de $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $, não temos restrições como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todo o plano
.
Agora, a imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Vamos analisar:
Como $ x^{2} $ e $ 9y^{2} $ são sempre maiores ou iguais a zero (já que estamos elevando ao quadrado), a soma também será sempre maior ou igual a zero. Portanto, a imagem é
.
Passo 3
Curvas de Nível
As curvas de nível são conjuntos de pontos
que dão o mesmo valor para a função $ f(x, y) $. Ou seja, fixamos $ f(x, y) = c $, onde $ c $ é uma constante.
Vamos resolver:
Essa é a equação de uma elipse quando $ c > 0 $. Mais especificamente, podemos reescrever como:
Isso mostra que, para cada valor de $ c $, temos uma elipse com semi-eixos de $ \sqrt{c} $ e $ \sqrt{c/9} = \sqrt{c}/3 $.
Portanto, as curvas de nível são elipses centradas na origem.
Passo 4
Interseção com os Planos Coordenados
Vamos encontrar onde a superfície $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $ intersecta os planos coordenados:
- Plano $ xy $: Aqui, $ z = 0 $. Então:
A única solução é $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Portanto, a interseção é apenas o ponto (0, 0, 0).
- Plano $ xz $: Aqui, $ y = 0 $. Substituindo na função:
Essa é a equação de uma parábola que abre para cima no plano $ xz $.
- Plano $ yz $: Aqui, $ x = 0 $. Substituindo na função:
Essa também é uma parábola que abre para cima, mas mais “esticada” devido ao coeficiente 9.
Passo 5
Esboço do Gráfico
Vamos imaginar o gráfico da função $ f(x, y) = x^{2} + 9y^{2} $:
- Forma Geral: Como vimos, é uma elipse nas curvas de nível, o que indica que a superfície é uma paraboloide elíptica.
- Curvatura: É uma superfície curva que se abre para cima, sendo mais “esticada” na direção do eixo $ y $ devido ao coeficiente 9.
- Interseções: Passando pela origem e com parábolas no planos $ xz $ e $ yz $.
Se você imaginar uma tigela, essa superfície se parece com isso, mas mais esticada na direção vertical.
Resposta
Resumindo:
- Domínio: Todo o plano
. - Imagem:
. - Curvas de Nível: Elipses centradas na origem para cada $ c > 0 $.
- Interseções com os Planos Coordenados:
- Plano $ xy $: Ponto (0, 0, 0).
- Plano $ xz $: Parábola $ z = x^{2} $.
- Plano $ yz $: Parábola $ z = 9y^{2} $.
- Gráfico: Uma paraboloide elíptica, semelhante a uma tigela esticada na direção vertical.