Determine domínio e imagem, curvas de nível e interseção com os planos coordenados. Esboce o gráfico das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a função $ f(x, y) = 1 - x^2 - 4y^2 $. O que precisamos fazer é:
- Determinar o domínio: onde a função está definida.
- Encontrar a imagem: os valores que a função pode assumir.
- Traçar as curvas de nível: são como “fatias” da função para diferentes valores.
- Ver as interseções com os planos coordenados: onde a função cruza os eixos.
- Esboçar o gráfico: desenhar uma representação visual da função.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Dominio da função
O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ e $ y $ para os quais a função está definida. Olhando para $ f(x, y) = 1 - x^2 - 4y^2 $, não temos nenhuma restrição como divisão por zero ou raiz de número negativo. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de $ x $ e $ y $.
Domínio: $ \mathbb{R}^2 $ (todos os pares ordenados de números reais)
Passo 3
Imagem da função
A imagem é o conjunto de todos os valores que $ f(x, y) $ pode assumir. Vamos analisar:
Os termos $ x^2 $ e $ 4y^2 $ são sempre maiores ou iguais a zero, então:
O valor máximo de $ f(x, y) $ é 1, alcançado quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $. À medida que $ x $ ou $ y $ aumentam, $ f(x, y) $ diminui sem limite inferior, ou seja, tende a menos infinito.
Imagem: $ (-\infty, 1] $
Passo 4
Curvas de nível
As curvas de nível são onde a função assume um valor constante. Vamos definir $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante.
Para representações reais, $ 1 - k $ deve ser positivo:
A equação $ x^2 + 4y^2 = constante $ representa elipses com os eixos ajustados.
Por exemplo:
- Para $ k = 0 $: $ x^2 + 4y^2 = 1 $
- Para $ k = -1 $: $ x^2 + 4y^2 = 2 $
As elipses ficam maiores conforme $ k $ diminui.
Passo 5
Interseção com os planos coordenados
Vamos encontrar onde a função cruza os eixos $ x $, $ y $ e $ z $.
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Interseção com o plano $ xy $ (quando $ z = 0 $):$ 1 - x^2 - 4y^2 = 0 $$ x^2 + 4y^2 = 1 $ — uma elipse.
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Interseção com o plano $ xz $ (quando $ y = 0 $):$ f(x, 0) = 1 - x^2 $$ z = 1 - x^2 $ — uma parábola.
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Interseção com o plano $ yz $ (quando $ x = 0 $):$ f(0, y) = 1 - 4y^2 $$ z = 1 - 4y^2 $ — outra parábola mais “estreita”.
Passo 6
Esboço do gráfico
A função $ f(x, y) = 1 - x^2 - 4y^2 $ representa um paraboloide elíptico que se abre para baixo, já que os coeficientes de $ x^2 $ e $ y^2 $ são negativos. O ponto mais alto está em $ (0, 0, 1) $.
Para esboçar:
- Desenhe o eixo $ z $ com o ponto $ (0,0,1) $.
- Trace as elipses das curvas de nível baixando a partir de $ k = 1 $.
- Mostre as parábolas nas interseções com os planos $ xz $ e $ yz $.
- Combine tudo para formar a superfície arredondada do paraboloide.
Resposta
O domínio da função é $ \mathbb{R}^2 $, a imagem é $ (-\infty, 1] $, as curvas de nível são elipses definidas por $ x^2 + 4y^2 = 1 - k $, e as interseções com os planos coordenados mostram elipses e parábolas características. O gráfico é um paraboloide elíptico que se abre para baixo com o vértice em $ (0, 0, 1) $.