Mostre que
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar duas transformadas de Laplace:
Para resolver isso, vamos usar as definições e propriedades da transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que converte funções do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: .
A função é a função seno hiperbólico, definida por:
A transformada de Laplace de
é
. Usando essa propriedade, podemos transformar .
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na expressão de :
Sabemos que
, então:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Assim, demonstramos que:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: .
Primeiro, usamos a identidade trigonométrica para :
Passo 6
Aplicando a transformada de Laplace na expressão:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Assim, demonstramos que: