Mostre que L[senh k t]=ks^2-k^2 e L[sen^2 t]=2s(s^2+4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar duas transformadas de Laplace:
Para resolver isso, vamos usar as definições e propriedades da transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que converte funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: .
A função é a função seno hiperbólico, definida por:
A transformada de Laplace de senh(k t) = e^k t - e^-k t2 é . Usando essa propriedade, podemos transformar .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na expressão de :
Sabemos que L[senh(k t)] = L[e^k t - e^-k t2] = 12 ( L[e^k t] - L[e^-k t] ) , então:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Assim, demonstramos que:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: .
Primeiro, usamos a identidade trigonométrica para :

Passo 6

Aplicando a transformada de Laplace na expressão:
Sabemos que L[sen^2 t] = L[1 - cos(2 t)2] = 12 ( L[1] - L[cos(2 t)] ) e L[sen^2 t] = 12 ( 1s - ss^2 + 4 ) , então:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Assim, demonstramos que:

Resposta

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