1. \int_{0}^{2} \int_{-\pi}^{0} \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \rho^{3} \operatorname{sen} 2 \varphi d \varphi d \theta d \rho

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla
\int_{0}^{2}\int_{-\pi}^{0}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\rho^{3}\,\sin2\varphi\;d\varphi\,d\theta\,d\rho.
O conteúdo aqui é o cálculo de integrais iteradas. Vamos integrar primeiro em \varphi, depois em \theta e, por fim, em \rho.

Passo 2

Integramos em relação a \varphi, tratando \rho como constante:
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\rho^{3}\sin2\varphi\;d\varphi =\rho^{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin2\varphi\;d\varphi =\rho^{3}\Bigl[-\tfrac12\cos2\varphi\Bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =\rho^{3}\Bigl(-\tfrac12(\cos\pi-\cos\tfrac\pi2)\Bigr) =\tfrac{\rho^{3}}{2}.

Passo 3

Substituindo no integral e integrando em \theta:
\int_{-\pi}^{0}\frac{\rho^{3}}{2}\;d\theta =\frac{\rho^{3}}{2}\bigl[\,\theta\bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{\rho^{3}}{2}(0-(-\pi)) =\frac{\pi\rho^{3}}{2}.

Passo 4

Agora integramos em \rho:
\int_{0}^{2}\frac{\pi\rho^{3}}{2}\;d\rho =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{2}\rho^{3}\;d\rho =\frac{\pi}{2}\Bigl[\tfrac{\rho^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{16}{4} =2\pi.

Resposta

2\pi

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