Resumo do pedido: calcular \det(A). As entradas da matriz acima são todas as informações fornecidas.
Passo 2
Vou explicar o método que vou usar (sem complicar): transformar a matriz em uma matriz triangular superior usando operações elementares de linha, porque para uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Regras importantes sobre operações elementares de linha e como elas afetam o determinante:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha (linha L_i \leftarrow L_i + cL_j) não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Não usarei essa operação para evitar complicar o acompanhamento.)
Vou usar apenas somas de múltiplos de linhas (que preservam o determinante) e, se necessário, uma troca de linhas (que muda o sinal).
Passo 3
Começo usando o pivô \,1 em (1,1) para zerar as entradas abaixo na primeira coluna com operações do tipo L_i \leftarrow L_i - m\,L_1:
Observação: essas operações não alteraram o determinante, logo \det(B)=\det(A).
Passo 4
Agora, na segunda coluna, o pivô desejável é a entrada não nula em (3,2) (igual a 1), enquanto a linha 2 tem zero nessa coluna. Faço a troca de linhas L_2 \leftrightarrow L_3 para trazer esse pivô para a posição (2,2). Lembre que trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.