Calcule o determinante de cada matriz dada:
\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 4 & -3 \\\\ 1 & 0 & 5 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4:
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 3 & 0 & 0 & 5 \\\\ 2 & 1 & 4 & -3 \\\\ 1 & 0 & 5 & 0 \end{bmatrix}.
Resumo do pedido: calcular \det(A). As entradas da matriz acima são todas as informações fornecidas.

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (sem complicar): transformar a matriz em uma matriz triangular superior usando operações elementares de linha, porque para uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Regras importantes sobre operações elementares de linha e como elas afetam o determinante:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha (linha L_i \leftarrow L_i + cL_j) não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Não usarei essa operação para evitar complicar o acompanhamento.)
    Vou usar apenas somas de múltiplos de linhas (que preservam o determinante) e, se necessário, uma troca de linhas (que muda o sinal).

Passo 3

Começo usando o pivô \,1 em (1,1) para zerar as entradas abaixo na primeira coluna com operações do tipo L_i \leftarrow L_i - m\,L_1:
Calcular:
\begin{aligned} L_2 &\leftarrow L_2 - 3L_1,\\\ L_3 &\leftarrow L_3 - 2L_1,\\\ L_4 &\leftarrow L_4 - 1L_1. \end{aligned}
Aplicando:
L_2: \\ [3,0,0,5] - 3[1,0,2,-1] = [0,0,-6,8].
L_3: \\ [2,1,4,-3] - 2[1,0,2,-1] = [0,1,0,-1].
L_4: \\ [1,0,5,0] - [1,0,2,-1] = [0,0,3,1].
A matriz fica:
B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 0 & -6 & 8 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}.
Observação: essas operações não alteraram o determinante, logo \det(B)=\det(A).

Passo 4

Agora, na segunda coluna, o pivô desejável é a entrada não nula em (3,2) (igual a 1), enquanto a linha 2 tem zero nessa coluna. Faço a troca de linhas L_2 \leftrightarrow L_3 para trazer esse pivô para a posição (2,2). Lembre que trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Após a troca:
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -6 & 8 \\\\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}.
Relação entre determinantes: \det\text{(C)} = -\det(B). Como \det(B)=\det(A), temos \det\text{(C)} = -\det(A).

Passo 5

Agora elimino a entrada abaixo do pivô na terceira coluna: a entrada (4,3)=3 deve ser zerada usando a linha 3 que tem -6 nessa coluna. Faço a operação
L_4 \leftarrow L_4 - \frac{3}{-6}L_3 = L_4 + \tfrac{1}{2}L_3.
Essa operação é do tipo “somar múltiplo de outra linha” e portanto NÃO altera o determinante.
Calculemos L_4:
L_4 = [0,0,3,1] + \tfrac{1}{2}[0,0,-6,8] = [0,0,3-3,\,1+4] = [0,0,0,5].
A matriz torna-se triangular superior:
D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -6 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}.
Como as operações desde C para D não mudaram o determinante, vale \det(D)=\det\text{(C)}. Lembre que \det\text{(C)} = -\det(A).

Passo 6

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim
\det(D) = 1 \cdot 1 \cdot (-6) \cdot 5 = -30.
Lembrando que \det(D)= -\det(A), temos
-\det(A) = -30 \quad\Rightarrow\quad \det(A)=30.

Resposta

\;30

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