com a,b,c\in\mathbb{R}. A tarefa é classificar o sistema em função de a,b,c: ou seja, dizer para quais valores de a,b,c o sistema é compatível (e se tem solução única ou infinitas) ou é incompatível (sem solução).
As informações relevantes dadas são as três equações lineares acima, e as incógnitas são x,y,z.]
Um teste rápido é calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq0 teríamos solução única; se \det(A)=0 a matriz é singular e o sistema pode ser compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível.
Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha:
Portanto \det(A)=0. Conclusão: a matriz dos coeficientes é singular e não existe solução única.]
Passo 3
Com [\det(A)=0) precisamos comparar o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada para decidir compatibilidade. Primeiro encontramos uma dependência linear entre as linhas de A.
Multiplicando a primeira por 2\] e subtraindo da segunda:
\[(2\alpha+5\beta)-(2\alpha+4\beta)=\beta=8-6=2.\]
Logo \(\beta=2 e \alpha=3-2\beta=3-4=-1. Verificação para a terceira coluna: -1\cdot3+2\cdot8=-3+16=13, que coincide. Assim
ou seja, as três linhas são linearmente dependentes e o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2 (as linhas 1 e 2 são linearmente independentes).]
Passo 4
Agora consideramos a matriz aumentada \tilde A=(A\mid \mathbf{b})\) com \(\mathbf{b}=(a,b,c)^T\). Para que o sistema seja compatível, a mesma relação linear entre as linhas de \(A\) deve se repetir na coluna dos termos independentes; isto é, deve valer
\[c=-1\cdot a +2\cdot b,
ou seja
c=-a+2b.
Podemos ver isso também por eliminação de Gauss: subtrair 2 vezes a primeira equação da segunda e 3 vezes a primeira da terceira dá
Subtraindo 2\] vezes (2') de (3') obtém-se
\[0 = c-3a -2(b-2a)=c+a-2b.\]
Portanto é necessária e suficiente a condição
\[c+a-2b=0\quad\Longleftrightarrow\quad c=-a+2b\]
para que a última linha não gere uma contradição \(0= número não nulo. Se c\neq -a+2b o sistema é incompatível (sem solução). Se c=-a+2b o posto da aumentada é igual ao posto de A, ambos iguais a 2, e como o número de incógnitas é 3 temos infinitas soluções com um parâmetro livre.]
Passo 5
Quando c=-a+2b vamos obter a solução geral fazendo a substituição descrita em (2’) e (1). Tomando z como parâmetro livre t\in\mathbb{R}:
y+2z=b-2a \quad\Rightarrow\quad y=b-2a-2t,
com z=t. Substitindo em (1):
x+2y+3z=a \quad\Rightarrow\quad x=a-2y-3z.
Substituindo y=b-2a-2t e z=t:
x=a-2(b-2a-2t)-3t = a-2b+4a+4t-3t = 5a-2b+t.
Portanto, sob a condição c=-a+2b, a solução geral é
Isto mostra que o espaço solução tem dimensão 1 (uma reta afim de soluções).
Passo 6
Resumo intuitivo e incentivo: não existe caso com solução única porque \det(A)=0. Ou o sistema não é compatível (se a condição entre a,b,c falha) ou é compatível com infinitas soluções (se a condição é satisfeita). Tu já fez o mais difícil: reconhecer a dependência linear das equações; a parametrização final é direta — escolhe z como parâmetro e obtém y e x. Vai dar certo na prova!
Resposta
Se c=-a+2b: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções). Solução geral (x,y,z)=(5a-2b+t,\; b-2a-2t,\; t), t\in\mathbb{R}.
Se c\neq -a+2b: sistema incompatível (sem solução).