Classifique o sistema linear parametrizado em função de a, b e c \in \mathbb{R} :
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=a \\\\ 2 x+5 y+8 z=b \\\\ 3 x+8 y+13 z=c \end{array}\right.

Passo 1

O sistema fornecido é
\begin{cases} x+2y+3z=a,\\[4pt] 2x+5y+8z=b,\\[4pt] 3x+8y+13z=c, \end{cases}
com a,b,c\in\mathbb{R}. A tarefa é classificar o sistema em função de a,b,c: ou seja, dizer para quais valores de a,b,c o sistema é compatível (e se tem solução única ou infinitas) ou é incompatível (sem solução).
As informações relevantes dadas são as três equações lineares acima, e as incógnitas são x,y,z.]

Passo 2

Vamos estudar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 5 & 8\\[4pt] 3 & 8 &13 \end{pmatrix}.
Um teste rápido é calcular o determinante de A. Se \det(A)\neq0 teríamos solução única; se \det(A)=0 a matriz é singular e o sistema pode ser compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível.
Calculemos \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}5&8\\[2pt]8&13\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2&8\\[2pt]3&13\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2&5\\[2pt]3&8\end{pmatrix}.
Agora os determinantes 2×2:
\det\begin{pmatrix}5&8\\[2pt]8&13\end{pmatrix}=5\cdot13-8\cdot8=65-64=1,
\det\begin{pmatrix}2&8\\[2pt]3&13\end{pmatrix}=2\cdot13-8\cdot3=26-24=2,
\det\begin{pmatrix}2&5\\[2pt]3&8\end{pmatrix}=2\cdot8-5\cdot3=16-15=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot1-2\cdot2+3\cdot1=1-4+3=0.
Portanto \det(A)=0. Conclusão: a matriz dos coeficientes é singular e não existe solução única.]

Passo 3

Com [\det(A)=0) precisamos comparar o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada para decidir compatibilidade. Primeiro encontramos uma dependência linear entre as linhas de A.
Procuramos coeficientes \alpha,\beta tais que
\alpha\cdot\text{linha}_1+\beta\cdot\text{linha}_2=\text{linha}_3.
Das componentes obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta=3,\\[4pt] 2\alpha+5\beta=8. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 2\] e subtraindo da segunda: \[(2\alpha+5\beta)-(2\alpha+4\beta)=\beta=8-6=2.\] Logo \(\beta=2 e \alpha=3-2\beta=3-4=-1. Verificação para a terceira coluna: -1\cdot3+2\cdot8=-3+16=13, que coincide. Assim
\text{linha}_3=-1\cdot\text{linha}_1+2\cdot\text{linha}_2,
ou seja, as três linhas são linearmente dependentes e o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2 (as linhas 1 e 2 são linearmente independentes).]

Passo 4

Agora consideramos a matriz aumentada \tilde A=(A\mid \mathbf{b})\) com \(\mathbf{b}=(a,b,c)^T\). Para que o sistema seja compatível, a mesma relação linear entre as linhas de \(A\) deve se repetir na coluna dos termos independentes; isto é, deve valer \[c=-1\cdot a +2\cdot b,
ou seja
c=-a+2b.
Podemos ver isso também por eliminação de Gauss: subtrair 2 vezes a primeira equação da segunda e 3 vezes a primeira da terceira dá
\begin{cases} \text{(1)}& x+2y+3z=a,\\[4pt] \text{(2')}& y+2z=b-2a,\\[4pt] \text{(3')}& 2y+4z=c-3a. \end{cases}
Subtraindo 2\] vezes (2') de (3') obtém-se \[0 = c-3a -2(b-2a)=c+a-2b.\] Portanto é necessária e suficiente a condição \[c+a-2b=0\quad\Longleftrightarrow\quad c=-a+2b\] para que a última linha não gere uma contradição \(0= número não nulo. Se c\neq -a+2b o sistema é incompatível (sem solução). Se c=-a+2b o posto da aumentada é igual ao posto de A, ambos iguais a 2, e como o número de incógnitas é 3 temos infinitas soluções com um parâmetro livre.]

Passo 5

Quando c=-a+2b vamos obter a solução geral fazendo a substituição descrita em (2’) e (1). Tomando z como parâmetro livre t\in\mathbb{R}:
y+2z=b-2a \quad\Rightarrow\quad y=b-2a-2t,
com z=t. Substitindo em (1):
x+2y+3z=a \quad\Rightarrow\quad x=a-2y-3z.
Substituindo y=b-2a-2t e z=t:
x=a-2(b-2a-2t)-3t = a-2b+4a+4t-3t = 5a-2b+t.
Portanto, sob a condição c=-a+2b, a solução geral é
(x,y,z)=(5a-2b+t,\; b-2a-2t,\; t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o espaço solução tem dimensão 1 (uma reta afim de soluções).

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo: não existe caso com solução única porque \det(A)=0. Ou o sistema não é compatível (se a condição entre a,b,c falha) ou é compatível com infinitas soluções (se a condição é satisfeita). Tu já fez o mais difícil: reconhecer a dependência linear das equações; a parametrização final é direta — escolhe z como parâmetro e obtém y e x. Vai dar certo na prova!

Resposta

Se c=-a+2b: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções). Solução geral (x,y,z)=(5a-2b+t,\; b-2a-2t,\; t), t\in\mathbb{R}.
Se c\neq -a+2b: sistema incompatível (sem solução).

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