Encontre a inversa da matriz B=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 5 & 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz B e pede sua inversa. Informações fornecidas:
  • Matriz dada:
B=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix}
  • Pedido: encontrar B^{-1}, a matriz inversa de B.]

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado de forma simples).
  • Para uma matriz quadrada 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a inversa A^{-1} (quando existe) é dada pela fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aqui \det(A) é o determinante de A e vale
\det(A)=ad-bc.
  • Explicação intuitiva: o determinante mede “se a matriz é invertível”. Se \det(A)=0 a matriz não tem inversa; se \det(A)\neq0 podemos usar a fórmula acima. A matriz que aparece multiplicando 1/\det(A) é a matriz adjunta (ou adjugate) de A, obtida trocando os elementos da diagonal e trocando o sinal dos elementos fora da diagonal.]

Passo 3

Aplicar a fórmula à nossa matriz B. Primeiro identifique as entradas:
a=2,\quad b=-1,\quad c=5,\quad d=3.
Agora calcule o determinante \det(B):
\det(B)=ad-bc = (2)(3)-(-1)(5)=6+5=11.
Como \det(B)=11\neq0, a matriz B é invertível e podemos usar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Construir a matriz adjunta (aquela que troca a diagonal e muda sinais dos elementos fora da diagonal):
\text{adj}(B)=\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -(-1) \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa:
B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\,\text{adj}(B)=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Fazer uma checagem rápida por multiplicação para ganhar confiança (opcional, mas útil na prova): calcular B\cdot B^{-1} e verificar que dá a matriz identidade.
Primeiro calcule B\cdot\text{adj}(B):
\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3+(-1)\cdot(-5) & 2\cdot1+(-1)\cdot2 \\[4pt] 5\cdot3+3\cdot(-5) & 5\cdot1+3\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 & 0 \\[4pt] 0 & 11\end{pmatrix}.
Multiplicando por 1/11 obtemos a identidade:
B\cdot B^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}11 & 0 \\[4pt] 0 & 11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso confirma que B^{-1} está correta.]

Resposta

B^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -5 & 2\end{pmatrix}]

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