Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes.
B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -5 \\\\ -2 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz B dada por
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5 \\\\ -2 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor do determinante \det(B)?\n
As informações relevantes são as entradas da matriz, que irei usar diretamente nos cálculos.

Passo 2

Vou explicar uma forma prática e muito utilizada para matrizes 3\times3: a regra de Sarrus. Para uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a regra de Sarrus dá
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Explicando essa fórmula: soma-se o produto das três diagonais “descendo para a direita” e subtrai-se o produto das três diagonais “descendo para a esquerda” (é prático desenhar as duas primeiras colunas repetidas ao lado e somar os três produtos diagonais).

Passo 3

Primeiro identifico as entradas de B com os a_{ij}:
a_{11}=2,\quad a_{12}=1,\quad a_{13}=-5,
a_{21}=-2,\quad a_{22}=3,\quad a_{23}=2,
a_{31}=-2,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=1.

Passo 4

Agora aplico a regra de Sarrus calculando cada produto com cuidado.
Produtos positivos (as três diagonais da esquerda para a direita):
a_{11}a_{22}a_{33}=2\cdot 3 \cdot 1 = 6,
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot 2 \cdot (-2) = -4,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-5)\cdot (-2)\cdot 1 = 10.
Somando-os:
\text{positivos}=6+(-4)+10=12.
Produtos negativos (as três diagonais da direita para a esquerda):
a_{13}a_{22}a_{31}=(-5)\cdot 3 \cdot (-2) = 30,
a_{11}a_{23}a_{32}=2\cdot 2 \cdot 1 = 4,
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot (-2)\cdot 1 = -2.
Somando-os:
\text{negativos}=30+4+(-2)=32.
Finalmente:
\det(B)=\text{positivos}-\text{negativos}=12-32=-20.

Passo 5

(Faço uma verificação alternativa por expansão por cofatores na primeira linha, para você ver outro método e ganhar segurança.)
Expansão pela primeira linha:
\det(B)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor 2\times2.
Calculo dos menores:
M_{11}=\begin{vmatrix}3 & 2\\[4pt] 1 & 1\end{vmatrix}=3\cdot1-2\cdot1=1,
M_{12}=\begin{vmatrix}-2 & 2\\[4pt] -2 & 1\end{vmatrix}=(-2)\cdot1-2\cdot(-2)=-2+4=2,
M_{13}=\begin{vmatrix}-2 & 3\\[4pt] -2 & 1\end{vmatrix}=(-2)\cdot1-3\cdot(-2)=-2+6=4.
Cofatores:
C_{11}=+1,\quad C_{12}=-2,\quad C_{13}=+4.
Termos da expansão:
a_{11}C_{11}=2\cdot1=2,
a_{12}C_{12}=1\cdot(-2)=-2,
a_{13}C_{13}=(-5)\cdot4=-20.
Somando:
\det(B)=2-2-20=-20,
confirmando o resultado anterior.]

Resposta

-20

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