Calcule, se possível as inversas das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 4 \\\\ 6 & -3 & -2 \\\\ 4 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se possível, a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 4\\[4pt] 6 & -3 & -2\\[4pt] 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • Os elementos de A são os mostrados acima, em ordem por linha.
  • A pergunta é: existe A^{-1}? Se existir, calcular A^{-1}.]

Passo 2

Critério de existência da inversa (aula curta e prática).
  • Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, o determinante \det(A) for diferente de zero.
  • Para matriz 3\times3 existe uma forma prática de calcular \det(A) chamada regra de Sarrus. Vou usar ela aqui e mostrar passo a passo.
Aplicando a regra de Sarrus a
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4\\[4pt] 6 & -3 & -2\\[4pt] 4 & 1 & 2 \end{pmatrix},
a fórmula é
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
Calculemos cada termo:
\begin{aligned} a_{11}a_{22}a_{33}&=(-2)\cdot(-3)\cdot2=12,\\[4pt] a_{12}a_{23}a_{31}&=(-1)\cdot(-2)\cdot4=8,\\[4pt] a_{13}a_{21}a_{32}&=4\cdot6\cdot1=24,\\[4pt] a_{13}a_{22}a_{31}&=4\cdot(-3)\cdot4=-48,\\[4pt] a_{11}a_{23}a_{32}&=(-2)\cdot(-2)\cdot1=4,\\[4pt] a_{12}a_{21}a_{33}&=(-1)\cdot6\cdot2=-12. \end{aligned}
Agora somando conforme a fórmula:
\det(A)=\bigl(12+8+24\bigr)-\bigl(-48+4-12\bigr)=44-(-56)=44+56=100.
Como \det(A)=100\neq0, a matriz A é invertível. Próximo passo: calcular explicitamente A^{-1}.]

Passo 3

Escolha do método (explicação didática).
  • Método escolhido: fórmula com adjunta (adjugate). Motivo: para 3\times3 é rápido e produz cofatores inteiros que depois dividimos por \det(A); isso evita manipular muitas frações ao longo de pivoteamentos.
  • Teoria rápida: para matriz invertível A vale
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. O cofator C_{ij} é dado por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
sendo M_{ij} o determinante do menor obtido removendo a linha i e a coluna j.

Passo 4

Cálculo dos menores e cofatores, elemento a elemento (mastigado).
  • Para C_{11}: menor M_{11} é o determinante da submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\begin{vmatrix}-3 & -2\\[4pt]1 & 2\end{vmatrix}=(-3)\cdot2-(-2)\cdot1=-6-(-2)=-4.
Então
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot(-4)=-4.
  • Para C_{12}: menor M_{12} remove linha 1 coluna 2:
M_{12}=\begin{vmatrix}6 & -2\\[4pt]4 & 2\end{vmatrix}=6\cdot2-(-2)\cdot4=12-(-8)=20.
Então
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot20=-20.
  • Para C_{13}: menor M_{13} remove linha 1 coluna 3:
M_{13}=\begin{vmatrix}6 & -3\\[4pt]4 & 1\end{vmatrix}=6\cdot1-(-3)\cdot4=6-(-12)=18,
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot18=18.
  • Para C_{21}: menor M_{21} remove linha 2 coluna 1:
M_{21}=\begin{vmatrix}-1 & 4\\[4pt]1 & 2\end{vmatrix}=(-1)\cdot2-4\cdot1=-2-4=-6,
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-6)=6.
  • Para C_{22}: menor M_{22} remove linha 2 coluna 2:
M_{22}=\begin{vmatrix}-2 & 4\\[4pt]4 & 2\end{vmatrix}=(-2)\cdot2-4\cdot4=-4-16=-20,
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot(-20)=-20.
  • Para C_{23}: menor M_{23} remove linha 2 coluna 3:
M_{23}=\begin{vmatrix}-2 & -1\\[4pt]4 & 1\end{vmatrix}=(-2)\cdot1-(-1)\cdot4=-2-(-4)=2,
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot2=-2.
  • Para C_{31}: menor M_{31} remove linha 3 coluna 1:
M_{31}=\begin{vmatrix}-1 & 4\\[4pt]-3 & -2\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-2)-4\cdot(-3)=2-(-12)=14,
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot14=14.
  • Para C_{32}: menor M_{32} remove linha 3 coluna 2:
M_{32}=\begin{vmatrix}-2 & 4\\[4pt]6 & -2\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-2)-4\cdot6=4-24=-20,
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot(-20)=20.
  • Para C_{33}: menor M_{33} remove linha 3 coluna 3:
M_{33}=\begin{vmatrix}-2 & -1\\[4pt]6 & -3\end{vmatrix}=(-2)\cdot(-3)-(-1)\cdot6=6-(-6)=12,
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot12=12.]

Passo 5

Matriz de cofatores e adjunta (adjugate).
  • Matriz de cofatores C (organizada por posições C_{ij}):
C=\begin{pmatrix} -4 & -20 & 18\\[4pt] 6 & -20 & -2\\[4pt] 14 & 20 & 12 \end{pmatrix}.
  • A adjunta (ou matriz adjugate) \operatorname{adj}(A) é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}= \begin{pmatrix} -4 & 6 & 14\\[4pt] -20 & -20 & 20\\[4pt] 18 & -2 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo final da inversa e simplificação das frações.
Usando \det(A)=100 e \operatorname{adj}(A) calculada:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\dfrac{1}{100} \begin{pmatrix} -4 & 6 & 14\\[4pt] -20 & -20 & 20\\[4pt] 18 & -2 & 12 \end{pmatrix}.
Agora escrevendo cada entrada na forma de fração simplificada:
A^{-1}= \begin{pmatrix} -\dfrac{4}{100} & \dfrac{6}{100} & \dfrac{14}{100}\\[6pt] -\dfrac{20}{100} & -\dfrac{20}{100} & \dfrac{20}{100}\\[6pt] \dfrac{18}{100} & -\dfrac{2}{100} & \dfrac{12}{100} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{25} & \dfrac{3}{50} & \dfrac{7}{50}\\[6pt] -\dfrac{1}{5} & -\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5}\\[6pt] \dfrac{9}{50} & -\dfrac{1}{50} & \dfrac{3}{25} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): multiplicação A\cdot A^{-1} deve dar a identidade. Faço dois produtos linha-coluna para checar:
  • Entrada (1,1):
(-2)\cdot\!\left(-\dfrac{1}{25}\right)+(-1)\cdot\!\left(-\dfrac{1}{5}\right)+4\cdot\!\left(\dfrac{9}{50}\right) =\dfrac{2}{25}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{36}{50} =\dfrac{2}{25}+\dfrac{5}{25}+\dfrac{18}{25}=\dfrac{25}{25}=1.
  • Entrada (1,2):
(-2)\cdot\!\left(\dfrac{3}{50}\right)+(-1)\cdot\!\left(-\dfrac{1}{5}\right)+4\cdot\!\left(-\dfrac{1}{50}\right) =-\dfrac{6}{50}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{4}{50} =-\dfrac{6}{50}+\dfrac{10}{50}-\dfrac{4}{50}=0.
Esses dois cheques dão confiança de que a inversa está correta (poderia checar todas as entradas, mas para economia de espaço e tempo duas verificações já mostram consistência).

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{25} & \dfrac{3}{50} & \dfrac{7}{50}\\[6pt] -\dfrac{1}{5} & -\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5}\\[6pt] \dfrac{9}{50} & -\dfrac{1}{50} & \dfrac{3}{25} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados