Portanto a única pergunta é: calcular \det(A). As entradas relevantes da matriz (pegas do enunciado) são exatamente os nove números acima.]
Passo 2
Vou explicar duas maneiras práticas de calcular o determinante de uma matriz 3\times3 que você pode usar na prova: a regra de Sarrus (atalho prático) e a expansão por cofatores (fórmula geral). Ambas dão o mesmo resultado; eu vou usar Sarrus como método principal porque é rápido para 3\times3, e depois farei a expansão por cofatores como checagem.
escreve-se as duas primeiras colunas novamente à direita e soma-se o produto das três diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos três produtos das diagonais que “sobem para a direita”. Em fórmula:
Expansão por cofatores (ideia): escolher uma linha ou coluna, multiplicar cada entrada pelo determinante da menor associada com sinal alternado. Essa é a forma mais geral e útil quando a matriz tem zeros numa linha/coluna.]
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus à matriz A, identifico os coeficientes:
a_{11}=2,\; a_{12}=3,\; a_{13}=4,
a_{21}=-1,\; a_{22}=2,\; a_{23}=3,
a_{31}=-4,\; a_{32}=0,\; a_{33}=3.
Agora cálculo os três produtos das diagonais que descem para a direita (os chamados produtos “positivos”):
Primeiro produto:
a_{11}a_{22}a_{33} = 2\cdot 2 \cdot 3.
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,\qquad 4\cdot 3 = 12.
Portanto esse produto vale 12.
Segundo produto:
a_{12}a_{23}a_{31} = 3\cdot 3 \cdot (-4).
Passos:
3\cdot 3 = 9,\qquad 9\cdot (-4) = -36.
Portanto esse produto vale -36.
Terceiro produto:
a_{13}a_{21}a_{32} = 4\cdot (-1) \cdot 0.
Qualquer coisa vezes 0 é 0, logo esse produto vale 0.
Passo 4
Somando os três produtos “positivos”:
\text{soma positiva} = 12 + (-36) + 0 = -24.
Passo 5
Agora os três produtos das diagonais que sobem para a direita (os chamados produtos “negativos”):
Dicas rápidas para a prova: para 3\times3 use Sarrus quando não houver muitos zeros; se houver uma linha/coluna com zeros, prefira expansão por cofatores nessa linha/coluna. Outra opção é simplificar com operações elementares de linha (lembrando como cada operação altera o determinante) quando a matriz for maior. Bom trabalho — você consegue!