Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes.
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 4 \\\\ -1 & 2 & 3 \\\\ -4 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\[4pt] -1 & 2 & 3\\[4pt] -4 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Portanto a única pergunta é: calcular \det(A). As entradas relevantes da matriz (pegas do enunciado) são exatamente os nove números acima.]

Passo 2

Vou explicar duas maneiras práticas de calcular o determinante de uma matriz 3\times3 que você pode usar na prova: a regra de Sarrus (atalho prático) e a expansão por cofatores (fórmula geral). Ambas dão o mesmo resultado; eu vou usar Sarrus como método principal porque é rápido para 3\times3, e depois farei a expansão por cofatores como checagem.
Regra de Sarrus (descrição rápida): para
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
escreve-se as duas primeiras colunas novamente à direita e soma-se o produto das três diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos três produtos das diagonais que “sobem para a direita”. Em fórmula:
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Expansão por cofatores (ideia): escolher uma linha ou coluna, multiplicar cada entrada pelo determinante da menor associada com sinal alternado. Essa é a forma mais geral e útil quando a matriz tem zeros numa linha/coluna.]

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à matriz A, identifico os coeficientes:
a_{11}=2,\; a_{12}=3,\; a_{13}=4,
a_{21}=-1,\; a_{22}=2,\; a_{23}=3,
a_{31}=-4,\; a_{32}=0,\; a_{33}=3.
Agora cálculo os três produtos das diagonais que descem para a direita (os chamados produtos “positivos”):
Primeiro produto:
a_{11}a_{22}a_{33} = 2\cdot 2 \cdot 3.
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,\qquad 4\cdot 3 = 12.
Portanto esse produto vale 12.
Segundo produto:
a_{12}a_{23}a_{31} = 3\cdot 3 \cdot (-4).
Passos:
3\cdot 3 = 9,\qquad 9\cdot (-4) = -36.
Portanto esse produto vale -36.
Terceiro produto:
a_{13}a_{21}a_{32} = 4\cdot (-1) \cdot 0.
Qualquer coisa vezes 0 é 0, logo esse produto vale 0.

Passo 4

Somando os três produtos “positivos”:
\text{soma positiva} = 12 + (-36) + 0 = -24.

Passo 5

Agora os três produtos das diagonais que sobem para a direita (os chamados produtos “negativos”):
Primeiro desses:
a_{13}a_{22}a_{31} = 4\cdot 2 \cdot (-4).
Passos:
4\cdot 2 = 8,\qquad 8\cdot (-4) = -32.
Então vale -32.
Segundo:
a_{11}a_{23}a_{32} = 2\cdot 3 \cdot 0.
Novamente multiplica por 0 0.
Terceiro:
a_{12}a_{21}a_{33} = 3\cdot (-1) \cdot 3.
Passos:
3\cdot (-1) = -3,\qquad -3\cdot 3 = -9.
Então vale -9.

Passo 6

Somando os três produtos “negativos”:
\text{soma negativa} = -32 + 0 + (-9) = -41.

Passo 7

Pela regra de Sarrus:
\det(A) = \text{soma positiva} - \text{soma negativa} = (-24) - (-41).
Calculando:
(-24) - (-41) = -24 + 41 = 17.
Logo o determinante calculado por Sarrus é \,17.

Passo 8

Verificação por expansão por cofatores (confirmação): faço expansão pela primeira linha para checar:
A fórmula da expansão pela primeira linha é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante da menor que resta ao eliminar linha 1 e coluna j.
Cálculos:
Para a_{11}=2:
\text{menor}=\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & 3\end{vmatrix}=2\cdot 3 - 3\cdot 0 = 6.
Sinal + (pois (-1)^{1+1}=+1). Então contribuição: 2\cdot 6 = 12.
Para a_{12}=3:
\text{menor}=\begin{vmatrix}-1 & 3\\[4pt]-4 & 3\end{vmatrix}=(-1)\cdot 3 - 3\cdot (-4) = -3 +12 = 9.
Sinal - (pois (-1)^{1+2}=-1). Contribuição: -3\cdot 9 = -27.
Para a_{13}=4:
\text{menor}=\begin{vmatrix}-1 & 2\\[4pt]-4 & 0\end{vmatrix}=(-1)\cdot 0 - 2\cdot (-4) = 0 +8 = 8.
Sinal + (pois (-1)^{1+3}=+1). Contribuição: 4\cdot 8 = 32.
Somando as contribuições:
12 + (-27) + 32 = 17.
Confere com o resultado obtido por Sarrus.]

Passo 9

Dicas rápidas para a prova: para 3\times3 use Sarrus quando não houver muitos zeros; se houver uma linha/coluna com zeros, prefira expansão por cofatores nessa linha/coluna. Outra opção é simplificar com operações elementares de linha (lembrando como cada operação altera o determinante) quando a matriz for maior. Bom trabalho — você consegue!

Resposta

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