usando operações elementares para transformá‑la numa matriz triangular superior.
Informações dadas (os elementos da matriz):
Primeira linha: 2,1,3,1.
Segunda linha: 1,0,1,1.
Terceira linha: 0,2,1,0.
Quarta linha: 0,1,2,3.
O que devemos entregar: o valor de \det(A).]
Passo 2
Relembrando as regras importantes sobre operações elementares e determinante (para eu te ensinar direitinho):
Trocar duas linhas (operação tipo I) multiplica o determinante por -1.
Somar a um linha um múltiplo de outra linha (operação tipo III) NÃO altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k (operação tipo II) multiplica o determinante por k.
Também vale a propriedade chave que usaremos no fim:
Se uma matriz é triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal são zero, então o determinante dessa matriz é o produto dos elementos da diagonal. Em símbolos, se U é triangular superior,
\det(U)=\prod_{i=1}^{n} u_{ii}.
Estratégia prática (escolhida para evitar frações grandes): trocar a primeira linha com a segunda (assim o pivô inicial fica 1 em vez de 2), registrar o efeito no determinante, e depois eliminar abaixo usando apenas adições de múltiplos de linha (operações que não alteram o determinante). Vou mostrar cada operação e o efeito associado.
Passo 3
Primeira operação: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter pivô 1 na primeira linha.
Observação: a partir daqui, sempre que eu fizer uma operação do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra”, eu não altero o determinante.]
Passo 4
Eliminar as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna usando \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1. (As linhas 3 e 4 já têm zero na primeira coluna.)
Operação: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1 (não altera o determinante).
Calcular o determinante da matriz triangular U e voltar ao determinante da matriz original A, lembrando a troca de linhas feita no início.
Determinante de U (produto dos elementos da diagonal):
\det(U)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 6 = -6.
Lembrando que fizemos uma única troca de linhas (\text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2) no começo, o que multiplica o determinante por -1. Como todas as demais operações foram do tipo que não alteram o determinante, a relação é