2.2.5. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
(b) \left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
usando operações elementares para transformá‑la numa matriz triangular superior.
Informações dadas (os elementos da matriz):
  • Primeira linha: 2,1,3,1.
  • Segunda linha: 1,0,1,1.
  • Terceira linha: 0,2,1,0.
  • Quarta linha: 0,1,2,3.
O que devemos entregar: o valor de \det(A).]

Passo 2

Relembrando as regras importantes sobre operações elementares e determinante (para eu te ensinar direitinho):
  • Trocar duas linhas (operação tipo I) multiplica o determinante por -1.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha (operação tipo III) NÃO altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k (operação tipo II) multiplica o determinante por k.
Também vale a propriedade chave que usaremos no fim:
  • Se uma matriz é triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal são zero, então o determinante dessa matriz é o produto dos elementos da diagonal. Em símbolos, se U é triangular superior,
\det(U)=\prod_{i=1}^{n} u_{ii}.
Estratégia prática (escolhida para evitar frações grandes): trocar a primeira linha com a segunda (assim o pivô inicial fica 1 em vez de 2), registrar o efeito no determinante, e depois eliminar abaixo usando apenas adições de múltiplos de linha (operações que não alteram o determinante). Vou mostrar cada operação e o efeito associado.

Passo 3

Primeira operação: trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter pivô 1 na primeira linha.
  • Operação: \text{R}_1 \longleftrightarrow \text{R}_2.
  • Efeito no determinante: multiplica por -1.
Matriz após a troca:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
Observação: a partir daqui, sempre que eu fizer uma operação do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra”, eu não altero o determinante.]

Passo 4

Eliminar as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna usando \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1. (As linhas 3 e 4 já têm zero na primeira coluna.)
  • Operação: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\text{R}_1 (não altera o determinante).
Cálculo de \text{R}_2:
[2,1,3,1] - 2\cdot[1,0,1,1] = [2-2,\;1-0,\;3-2,\;1-2] = [0,1,1,-1].
Matriz agora:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}]

Passo 5

Segundo pivô: o elemento \text{(2,2)} é 1. Eliminar abaixo dele nas linhas 3 e 4 com operações que não alteram o determinante:
  • \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\text{R}_2.
  • \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - 1\text{R}_2.
Cálculos:
\text{R}_3: [0,2,1,0] - 2\cdot[0,1,1,-1] = [0,0,1-2,\;0-2(-1)] = [0,0,-1,2].
\text{R}_4: [0,1,2,3] - [0,1,1,-1] = [0,0,1,4].
Matriz agora:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}]

Passo 6

Terceiro pivô: o elemento \text{(3,3)} é -1. Eliminar abaixo dele (entrada \text{(4,3)}=1) usando operação tipo III:
  • Fator para eliminar: \dfrac{\text{entrada}(4,3)}{\text{pivô}(3,3)}=\dfrac{1}{-1}=-1ô.
  • Operação: \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \big(\dfrac{1}{-1}\big)\text{R}_3 = \text{R}_4 - (-1)\text{R}_3 = \text{R}_4 + \text{R}_3.
  • Esta operação também NÃO altera o determinante.
Cálculo:
\text{R}_4: [0,0,1,4] + [0,0,-1,2] = [0,0,0,6].
Matriz triangular superior final:
U=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}]

Passo 7

Calcular o determinante da matriz triangular U e voltar ao determinante da matriz original A, lembrando a troca de linhas feita no início.
  • Determinante de U (produto dos elementos da diagonal):
\det(U)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 6 = -6.
  • Lembrando que fizemos uma única troca de linhas ( \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2) no começo, o que multiplica o determinante por -1. Como todas as demais operações foram do tipo que não alteram o determinante, a relação é
\det(A)=(-1)\cdot\det(U).
Portanto
\det(A)=(-1)\cdot(-6)=6.

Resposta

6

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