2.2.6. Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, em que:
(c) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de \lambda tais que \det\!\bigl(A-\lambda I_{n}\bigr)=0 para a matriz
A condição \det(A-\lambda I_{n})=0 significa que estamos procurando os valores de \lambda que anulam o determinante da matriz A-\lambda I_3.]
Passo 2
O que vamos fazer (explicando devagar e com calma): construir a matriz A-\lambda I_3, calcular o determinante dessa matriz (isso gera o chamado polinômio característico) e resolver a equação polinomial igual a zero para encontrar os valores de \lambda.
Rápida revisão didática (sem mistério):
I_3 é a matriz identidade 3\times3, ou seja, zeros fora da diagonal e 1 na diagonal.
A-\lambda I_3 significa subtrair \lambda de cada elemento da diagonal principal de A.
Para uma matriz 3\times3, se uma coluna (ou linha) tem zeros em posições convenientes, é muito prático expandir o determinante por essa coluna (ou linha). Para uma matriz 2\times2, lembre que
\det\!\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc,
Para achar os valores de \lambda que anulam o determinante, basta resolver
(2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4)=0.
As raízes são os zeros de cada fator. Assim os valores de \lambda são:
\lambda=2,\qquad \lambda=1,\qquad \lambda=4.
Cada uma aparece com multiplicidade geométrica/algebraica 1 (são raízes simples). Como comentário extra (só para animar): como os autovalores são distintos, a matriz A é diagonalizável (mas isso não era pedido).