2.2.6. Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, em que:
(c) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de \lambda tais que \det\!\bigl(A-\lambda I_{n}\bigr)=0 para a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & -1 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • A incógnita é o escalar \lambda.
  • A condição \det(A-\lambda I_{n})=0 significa que estamos procurando os valores de \lambda que anulam o determinante da matriz A-\lambda I_3.]

Passo 2

O que vamos fazer (explicando devagar e com calma): construir a matriz A-\lambda I_3, calcular o determinante dessa matriz (isso gera o chamado polinômio característico) e resolver a equação polinomial igual a zero para encontrar os valores de \lambda.
Rápida revisão didática (sem mistério):
  • I_3 é a matriz identidade 3\times3, ou seja, zeros fora da diagonal e 1 na diagonal.
  • A-\lambda I_3 significa subtrair \lambda de cada elemento da diagonal principal de A.
  • Para uma matriz 3\times3, se uma coluna (ou linha) tem zeros em posições convenientes, é muito prático expandir o determinante por essa coluna (ou linha). Para uma matriz 2\times2, lembre que
\det\!\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc,
isso vamos usar ao calcular o menor 2\times2.

Passo 3

Formamos explicitamente A-\lambda I_3:
A-\lambda I_3 = \begin{pmatrix}2-\lambda & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & -2 \\[4pt] 0 & -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Note que a primeira coluna tem dois zeros nas linhas 2 e 3, o que facilita muito a expansão do determinante por essa coluna.]

Passo 4

Expandimos o determinante por desenvolvimento na primeira coluna. Como há zeros nas posições (2,1) e (3,1), apenas o elemento (1,1) contribui:
\det\!\bigl(A-\lambda I_3\bigr)=(2-\lambda)\cdot \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Aqui usei a regra de Laplace: o cofator associado a (1,1) é o determinante do menor 2\times2 obtido cortando a linha 1 e coluna 1.]

Passo 5

Agora calculamos o determinante do menor 2\times2 com a fórmula ad-bc:
\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(-1).
Calcule passo a passo:
(3-\lambda)(2-\lambda)=6 -3\lambda -2\lambda +\lambda^2 = \lambda^2 -5\lambda +6,
e
(-2)(-1)=2.
Portanto
(3-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(-1) = (\lambda^2 -5\lambda +6) - 2 = \lambda^2 -5\lambda +4.]

Passo 6

Substituindo de volta no produto com (2-\lambda), obtemos o polinômio característico:
\det\!\bigl(A-\lambda I_3\bigr) = (2-\lambda)\,(\lambda^2 -5\lambda +4).
Fatoramos o quadrático \lambda^2 -5\lambda +4. Procuramos dois números cujo produto seja 4 e cuja soma seja -5; esses números são -1 e -4. Logo
\lambda^2 -5\lambda +4 = (\lambda-1)(\lambda-4).
Portanto o polinômio característico fica (escrevendo todos os fatores):
\det\!\bigl(A-\lambda I_3\bigr) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4).

Passo 7

Para achar os valores de \lambda que anulam o determinante, basta resolver
(2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4)=0.
As raízes são os zeros de cada fator. Assim os valores de \lambda são:
\lambda=2,\qquad \lambda=1,\qquad \lambda=4.
Cada uma aparece com multiplicidade geométrica/algebraica 1 (são raízes simples). Como comentário extra (só para animar): como os autovalores são distintos, a matriz A é diagonalizável (mas isso não era pedido).

Resposta

\lambda=1
\lambda=2
\lambda=4

Exercícios relacionados