2.2.3. Seja A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} tal que \operatorname{det}(A)=3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(b) \left[\begin{array}{lll}a_{11}+a_{12} & a_{11}-a_{12} & a_{13} \\\ a_{21}+a_{22} & a_{21}-a_{22} & a_{23} \\\ a_{31}+a_{32} & a_{31}-a_{32} & a_{33}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=\big(a_{i j}\big)_{3\times3} com \det(A)=3 e pede o determinante da matriz
B=\begin{pmatrix} a_{11}+a_{12} & a_{11}-a_{12} & a_{13} \\\ a_{21}+a_{22} & a_{21}-a_{22} & a_{23} \\\ a_{31}+a_{32} & a_{31}-a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é 3\times3.
  • \det(A)=3.
  • A matriz cujo determinante se deseja é exatamente B escrita acima.

Passo 2

Para entender melhor, vamos escrever A em termos das suas colunas. Seja
c_1=\begin{pmatrix}a_{11}\a_{21}\a_{31}\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}a_{12}\a_{22}\a_{32}\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}a_{13}\a_{23}\a_{33}\end{pmatrix},
ou seja, A=[\,c_1\; c_2\; c_3\,]. Observando B, suas colunas são:
\text{col}_1(B)=c_1+c_2,\qquad \text{col}_2(B)=c_1-c_2,\qquad \text{col}_3(B)=c_3.
Logo B pode ser escrita como produto de A por uma matriz Q que combina as colunas de A. Escrevendo as combinações como vetores coluna, obtemos
Q=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
pois A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=c_1+c_2, A\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}=c_1-c_2 e A\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=c_3. Portanto
B=AQ.]

Passo 3

Agora uso uma propriedade fundamental dos determinantes: para matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Aplicando isso a B=AQ temos
\det(B)=\det(A)\det(Q).
Sabendo que \det(A)=3, basta calcular \det(Q) e multiplicar por 3.

Passo 4

Calculo \det(Q). Note que Q tem forma de bloco com o terceiro eixo separado; em particular a última linha e coluna mostram um bloco 1 isolado, então
\det(Q)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} o determinante é ad-bc. Aplicando:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2.
Portanto \det(Q)=-2.]

Passo 5

Voltando a \det(B)=\det(A)\det(Q), substituímos os valores:
\det(B)=3\cdot(-2)=-6.
Missão cumprida — o determinante da matriz pedida é -6. Força aí nos estudos, isso é o tipo de manipulação de colunas que cai muito em prova!

Resposta

-6

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