2.2.3. Seja
tal que
. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com
e pede o determinante da matriz
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A matriz
é . -
. - A matriz cujo determinante se deseja é exatamente
escrita acima.
Passo 2
Para entender melhor, vamos escrever
em termos das suas colunas. Seja
ou seja,
. Observando
, suas colunas são:
Logo
pode ser escrita como produto de
por uma matriz
que combina as colunas de
. Escrevendo as combinações como vetores coluna, obtemos
pois
,
e
. Portanto
Passo 3
Agora uso uma propriedade fundamental dos determinantes: para matrizes quadradas
e
de mesma ordem vale
Aplicando isso a
temos
Sabendo que
, basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 4
Calculo
. Note que
tem forma de bloco com o terceiro eixo separado; em particular a última linha e coluna mostram um bloco
isolado, então
Para uma matriz
o determinante é
. Aplicando:
Portanto
.]
Passo 5
Voltando a
, substituímos os valores:
Missão cumprida — o determinante da matriz pedida é
. Força aí nos estudos, isso é o tipo de manipulação de colunas que cai muito em prova!