1. Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformála em uma matriz triangular superior.
\left[\begin{array}{llll} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 2 & 3 & 2 & 5 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 6 & 9 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o determinante da matriz dada, usando operações elementares para transformá-la numa matriz triangular superior. A matriz fornecida é:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 2 & 3 & 2 & 5 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 6 & 9 & 1 \end{pmatrix}
O que preciso devolver: o valor numérico de \det(A).

Passo 2

Explicação das ferramentas que vou usar (aula rápida e prática):
  • Existem três tipos de operações elementares em linhas (row operations):
    1. trocar duas linhas: isso multiplica o determinante por -1.
    2. multiplicar uma linha por um escalar \lambda: isso multiplica o determinante por \lambda.
    3. adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: isso NÃO altera o determinante.
  • Objetivo: usar operações do tipo 3 (adição de múltiplos de linhas) sempre que possível, porque elas não mudam o determinante. Evitar trocar linhas ou multiplicar por escalares, a não ser que seja necessário.
  • Fato usado no final: se uma matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou então eliminar elementos abaixo da diagonal principal usando apenas adições de múltiplos de linhas (tipo 3), chegar a uma matriz triangular superior e calcular o produto das diagonais.

Passo 3

Primeiro passo de eliminação: zerar as entradas da primeira coluna abaixo de a_{11}=1.
Faço as operações (tipo 3, não alteram o determinante):
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1.
Calculo linha a linha:
  • R_2 - 2R_1:
(2,3,2,5) - 2\cdot(1,3,9,7) = (2-2,\,3-6,\,2-18,\,5-14) = (0,\,-3,\,-16,\,-9).
  • R_4 - 4R_1:
(4,6,9,1) - 4\cdot(1,3,9,7) = (4-4,\,6-12,\,9-36,\,1-28) = (0,\,-6,\,-27,\,-27).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 0 & -3 & -16 & -9 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 0 & -6 & -27 & -27 \end{pmatrix},
sem alteração do determinante.

Passo 4

Segundo passo: zerar as entradas da segunda coluna nas linhas 3 e 4, usando o pivô a_{22}=-3.
Faço operações (tipo 3):
R_3 \leftarrow R_3 + R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Calculo:
  • R_3 + R_2:
(0,3,4,1) + (0,-3,-16,-9) = (0,0,-12,-8).
  • R_4 - 2R_2:
(0,-6,-27,-27) - 2\cdot(0,-3,-16,-9) = (0,-6+6,\,-27+32,\,-27+18) = (0,0,5,-9).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 0 & -3 & -16 & -9 \\\\ 0 & 0 & -12 & -8 \\\\ 0 & 0 & 5 & -9 \end{pmatrix},
ainda sem alterar o determinante.

Passo 5

Terceiro passo: zerar a entrada da terceira coluna na linha 4, usando o pivô a_{33}=-12.
Para zerar 5 na posição (4,3), faço (tipo 3):
R_4 \leftarrow R_4 + \frac{5}{12}R_3.
Verifico componente a componente:
  • Terceira entrada: 5 + \dfrac{5}{12}\cdot(-12) = 5 - 5 = 0.
  • Quarta entrada: -9 + \dfrac{5}{12}\cdot(-8) = -9 - \dfrac{40}{12} = -9 - \dfrac{10}{3} = -\dfrac{27+10}{3} = -\dfrac{37}{3}.
Assim obtemos a matriz triangular superior
U=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 0 & -3 & -16 & -9 \\\\ 0 & 0 & -12 & -8 \\\\ 0 & 0 & 0 & -\dfrac{37}{3} \end{pmatrix}.
Novamente, como usei apenas somas de múltiplos de linhas, o determinante permanece inalterado.

Passo 6

Agora uso o fato: o determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
\det(A) = 1 \cdot (-3) \cdot (-12) \cdot \left(-\dfrac{37}{3}\right).
Faço as simplificações passo a passo:
(-3)\cdot(-12)=36,
36\cdot\left(-\dfrac{37}{3}\right)=\left(\dfrac{36}{3}\right)\cdot(-37)=12\cdot(-37)=-444.
Portanto \det(A)=-444.

Passo 7

Cheguei ao resultado usando apenas operações que não mudam o determinante (adições de múltiplos de linhas), por isso não precisei rastrear fatores extras. Se fosse usada alguma troca de linhas ou multiplicação de linha por escalar, seria preciso compensar o determinante com os fatores apropriados.

Resposta

-444

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