O enunciado pede que eu calcule o determinante da matriz dada, usando operações elementares para transformá-la numa matriz triangular superior. A matriz fornecida é:
O que preciso devolver: o valor numérico de \det(A).
Passo 2
Explicação das ferramentas que vou usar (aula rápida e prática):
Existem três tipos de operações elementares em linhas (row operations):
trocar duas linhas: isso multiplica o determinante por -1.
multiplicar uma linha por um escalar \lambda: isso multiplica o determinante por \lambda.
adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: isso NÃO altera o determinante.
Objetivo: usar operações do tipo 3 (adição de múltiplos de linhas) sempre que possível, porque elas não mudam o determinante. Evitar trocar linhas ou multiplicar por escalares, a não ser que seja necessário.
Fato usado no final: se uma matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou então eliminar elementos abaixo da diagonal principal usando apenas adições de múltiplos de linhas (tipo 3), chegar a uma matriz triangular superior e calcular o produto das diagonais.
Passo 3
Primeiro passo de eliminação: zerar as entradas da primeira coluna abaixo de a_{11}=1.
Faço as operações (tipo 3, não alteram o determinante):
Cheguei ao resultado usando apenas operações que não mudam o determinante (adições de múltiplos de linhas), por isso não precisei rastrear fatores extras. Se fosse usada alguma troca de linhas ou multiplicação de linha por escalar, seria preciso compensar o determinante com os fatores apropriados.