Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir usando a expansão por cofatores com uma linha ou coluna de sua escolha.
B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]
Volte a calcular os determinantes das matrizes anteriores usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
\text{(i) Calcular o determinante da matriz }B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
usando expansão por cofatores, escolhendo uma linha ou coluna conveniente;
\text{(ii) Recalcular o determinante da mesma matriz }B\text{ usando eliminação de Gauss e as propriedades do determinante.}çã
Informações relevantes dadas no enunciado:
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Não há outras matrizes. O objetivo é obter \det(B) por dois métodos distintos (expansão por cofatores e eliminação gaussiana), mostrando o passo a passo.]

Passo 2

Escolha da expansão por cofatores e revisão da fórmula (aula rápida):
Se A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n, a expansão por cofatores ao longo da coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator. Aqui vou escolher a coluna 3 de B porque tem zeros em posições convenientes (mais termos somados serão zero), já que
\text{coluna 3 de }B = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Assim só os termos i=1 e i=2 contribuem à soma.]

Passo 3

Cálculo do cofator relativo a i=1,j=3:
O elemento é b_{13}=3 e o sinal é (-1)^{1+3}=(-1)^4=1. O menor M_{13} é a matriz 3\times3 obtida eliminando linha 1 e coluna 3 de B:
M_{13}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
onde as colunas restantes são as colunas 1,2 e 4 de B. Agora calculamos \det(M_{13}). Para uma matriz 3\times3
\det\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]d&e&f\\[4pt]g&h&i\end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando com a=0,b=0,c=-2,d=2,e=1,f=1,g=1,h=1,i=0:
\det(M_{13})=0\cdot(1\cdot0-1\cdot1)-0\cdot(2\cdot0-1\cdot1)+(-2)\cdot(2\cdot1-1\cdot1).
Isso dá
\det(M_{13})=(-2)\cdot(2-1)=(-2)\cdot 1=-2.
A contribuição desse cofator para \det(B) é
(+1)\cdot b_{13}\cdot\det(M_{13})=1\cdot 3\cdot(-2)=-6.]

Passo 4

Cálculo do cofator relativo a i=2,j=3:
O elemento é b_{23}=1 e o sinal é (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1. O menor M_{23} é a matriz obtida eliminando linha 2 e coluna 3:
M_{23}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
novamente colunas 1,2 e 4 de B, sem a linha 2. Calculando o determinante por fórmula de 3\times3 com a=1,b=0,c=1,d=2,e=1,f=1,g=1,h=1,i=0:
\det(M_{23})=1\cdot(1\cdot0-1\cdot1)-0\cdot(2\cdot0-1\cdot1)+1\cdot(2\cdot1-1\cdot1).
Logo
\det(M_{23})=1\cdot(0-1)+0 + 1\cdot(2-1)=-1+1=0.
A contribuição do segundo cofator é
(-1)\cdot b_{23}\cdot\det(M_{23}) = -1\cdot 1\cdot 0 = 0.]

Passo 5

Somando as contribuições (expansão por cofatores ao longo da coluna 3):
\det(B)=(-6)+0=-6.
Portanto, pela expansão por cofatores obtivemos \det(B)=-6.

Passo 6

Agora vamos recalcular \det(B) por eliminação Gaussiana, usando propriedades do determinante (aula rápida de propriedades essenciais que usarei):
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Evitarei multiplicar linhas por escalares, só usarei trocas e aplicações de soma de múltiplos.)
  • Para matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Começamos com
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Eliminações passo a passo (cada operação explícita e seu efeito):
  1. Eliminar abaixo do pivô b_{11}=1 nas linhas 3 e 4 com operações do tipo R_i \leftarrow R_i - c\cdot R_1. Essas operações não alteram o determinante.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: (2,1,0,1) - 2\cdot(1,0,3,1) = (0,1,-6,-1).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1:
R_4: (1,1,0,0) - (1,0,3,1) = (0,1,-3,-1).
Matriz resultante:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
  1. Agora o elemento b_{22} é zero; para progredir, trocamos a linha 2 com a linha 3 (uma troca de linhas), o que multiplica \det por -1:
\text{troca }R_2\leftrightarrow R_3: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Até aqui aplicamos uma troca, então o determinante da nova matriz é -\det(B).
  1. Eliminar o elemento na coluna 2 da linha 4 usando R_4 \leftarrow R_4 - R_2 (operação que não altera o determinante):
R_4: (0,1,-3,-1)-(0,1,-6,-1)=(0,0,3,0).
Matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar o elemento na coluna 3 da linha 4 usando R_4 \leftarrow R_4 - 3R_3 (novamente operação que não altera o determinante):
R_4: (0,0,3,0) - 3\cdot(0,0,1,-2) = (0,0,0,6).
Agora a matriz está triangular superior:
U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do determinante a partir da triangularização: para U triangular,
\det(U)=1\cdot 1\cdot 1\cdot 6 = 6.
Lembrando que, devido à troca de linhas feita no passo 2, \det(U) = -\det(B). Portanto
-\det(B)=6 \quad\Longrightarrow\quad \det(B)=-6.
Isso confirma o resultado obtido pela expansão por cofatores.

Resposta

Pela expansão por cofatores: -6
Pela eliminação de Gauss: -6

Exercícios relacionados