Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir usando a expansão por cofatores com uma linha ou coluna de sua escolha. B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]
Volte a calcular os determinantes das matrizes anteriores usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante.
Não há outras matrizes. O objetivo é obter \det(B) por dois métodos distintos (expansão por cofatores e eliminação gaussiana), mostrando o passo a passo.]
Passo 2
Escolha da expansão por cofatores e revisão da fórmula (aula rápida):
Se A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n, a expansão por cofatores ao longo da coluna j é
onde M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator. Aqui vou escolher a coluna 3 de B porque tem zeros em posições convenientes (mais termos somados serão zero), já que
\text{coluna 3 de }B = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Assim só os termos i=1 e i=2 contribuem à soma.]
Passo 3
Cálculo do cofator relativo a i=1,j=3:
O elemento é b_{13}=3 e o sinal é (-1)^{1+3}=(-1)^4=1. O menor M_{13} é a matriz 3\times3 obtida eliminando linha 1 e coluna 3 de B:
Cálculo do cofator relativo a i=2,j=3:
O elemento é b_{23}=1 e o sinal é (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1. O menor M_{23} é a matriz obtida eliminando linha 2 e coluna 3:
Somando as contribuições (expansão por cofatores ao longo da coluna 3):
\det(B)=(-6)+0=-6.
Portanto, pela expansão por cofatores obtivemos \det(B)=-6.
Passo 6
Agora vamos recalcular \det(B) por eliminação Gaussiana, usando propriedades do determinante (aula rápida de propriedades essenciais que usarei):
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Evitarei multiplicar linhas por escalares, só usarei trocas e aplicações de soma de múltiplos.)
Para matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.