Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir usando a expansão por cofatores com uma linha ou coluna de sua escolha.
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ -2 & 4 & 6 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]
Volte a calcular os determinantes das matrizes anteriores usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A de duas maneiras: (1) usando expansão por cofatores (escolhendo uma linha ou coluna) e (2) usando eliminação Gaussiana e propriedades do determinante. A matriz dada é:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ -2 & 4 & 6 \\\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}
Informações relevantes fornecidas: os elementos de A são exatamente os que aparecem na matriz acima; não há outras restrições.

Passo 2

Vou começar pela expansão por cofatores. Primeiro uma pequena aula sobre o que é isso, devagarinho:
  • Para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij}, o determinante pode ser calculado expandindo por uma linha i ou por uma coluna j. A fórmula geral (expansão pela linha i) é
\det(A)=\sum_{k=1}^{3} (-1)^{i+k}\,a_{i k}\,\det(M_{i k})
onde M_{ik} é a matriz 2\times2 obtida ao riscar a linha i e a coluna k de A. O fator (-1)^{i+k} é o sinal do cofator.
  • Para uma 2\times2 a fórmula é simples: para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} temos \det=\;ad-bc. Isso é tudo o que precisamos para os menores 2\times2.

Passo 3

Escolha da linha/coluna para expandir: é bom escolher uma linha ou coluna com zeros para economizar contas. Na nossa matriz a terceira linha é \bigl(-1,\;0,\;1\bigr), que tem um zero no meio — ótima escolha. Então vamos expandir pela linha i=3.

Passo 4

Aplicando a fórmula de expansão pela linha 3:
\det(A)=\sum_{k=1}^{3} (-1)^{3+k}\,a_{3k}\,\det(M_{3k})
escrevendo termo a termo:
  • Para k=1: a_{31}=-1 e o sinal é (-1)^{3+1}=+1. O menor M_{31} é a matriz obtida riscando linha 3 e coluna 1:
M_{31}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[2pt]4 & 6\end{pmatrix}
Então \det(M_{31})=2\cdot6-3\cdot4=12-12=0.
  • Para k=2: a_{32}=0. Esse termo vai contribuir zero, não precisamos calcular o menor.
  • Para k=3: a_{33}=1 e o sinal é (-1)^{3+3}=+1. O menor M_{33} é
M_{33}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & 4\end{pmatrix}
e \det(M_{33})=1\cdot4-2\cdot(-2)=4+4=8.]

Passo 5

Juntando os termos da expansão pela terceira linha:
\det(A)=(-1)\cdot\det(M_{31}) + 0\cdot\det(M_{32}) + 1\cdot\det(M_{33}) = (-1)\cdot 0 + 0 + 1\cdot 8 = 8.
Portanto, pela expansão por cofatores escolhemos a linha 3 e encontramos \det(A)=8.

Passo 6

Agora vamos recalcular usando eliminação Gaussiana. Primeiro uma pausa didática sobre propriedades do determinante que vamos usar:
  • Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (operaçãotype III) não altera o determinante.
    Objetivo prático: transformar A em uma matriz triangular superior usando apenas operações do tipo “adicionar múltiplo de outra linha” (quando possível), porque para matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 7

Escrevemos A e aplicamos operações:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ -2 & 4 & 6 \\\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}
  • Vamos zerar as entradas abaixo do pivô a_{11}=1. Fazer R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 (operação tipo III, determinante inalterado):
R_2 + 2R_1 = (-2+2\cdot1,\;4+2\cdot2,\;6+2\cdot3)=(0,8,12).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + 1R_1:
R_3 + R_1 = (-1+1,\;0+2,\;1+3)=(0,2,4).
Após essas duas operações temos:
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt]0 & 8 & 12 \\[4pt]0 & 2 & 4\end{pmatrix}
até aqui o determinante continua o mesmo.]

Passo 8

Agora zeramos a posição (3,2) usando o pivô 8 na segunda linha. Faça R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{8}R_2 = R_3 - \tfrac{1}{4}R_2 (novamente operação tipo III, determinante inalterado):
Calcule termo a termo:
  • Segunda coluna: 2 - \tfrac{1}{4}\cdot 8 = 2 - 2 = 0.
  • Terceira coluna: 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 12 = 4 - 3 = 1.
    Assim R_3 fica (0,0,1). A matriz triangular resultante é
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt]0 & 8 & 12 \\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Para uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é (1,\;8,\;1). Como todas as operações feitas foram do tipo que não alteram o determinante, temos
\det(A)=1\cdot 8\cdot 1 = 8.
Se durante a eliminação tivéssemos trocado linhas ou multiplicado uma linha por constante, teríamos que compensar essas mudanças multiplicando por -1 ou dividindo pelo escalar, respectivamente. Aqui não foi necessário.

Resposta

\det(A)=8

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