Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir usando a expansão por cofatores com uma linha ou coluna de sua escolha. A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ -2 & 4 & 6 \\\\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]
Volte a calcular os determinantes das matrizes anteriores usando eliminação Gaussiana e as propriedades do determinante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A de duas maneiras: (1) usando expansão por cofatores (escolhendo uma linha ou coluna) e (2) usando eliminação Gaussiana e propriedades do determinante. A matriz dada é:
Informações relevantes fornecidas: os elementos de A são exatamente os que aparecem na matriz acima; não há outras restrições.
Passo 2
Vou começar pela expansão por cofatores. Primeiro uma pequena aula sobre o que é isso, devagarinho:
Para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij}, o determinante pode ser calculado expandindo por uma linha i ou por uma coluna j. A fórmula geral (expansão pela linha i) é
onde M_{ik} é a matriz 2\times2 obtida ao riscar a linha i e a coluna k de A. O fator (-1)^{i+k} é o sinal do cofator.
Para uma 2\times2 a fórmula é simples: para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} temos \det=\;ad-bc. Isso é tudo o que precisamos para os menores 2\times2.
Passo 3
Escolha da linha/coluna para expandir: é bom escolher uma linha ou coluna com zeros para economizar contas. Na nossa matriz a terceira linha é \bigl(-1,\;0,\;1\bigr), que tem um zero no meio — ótima escolha. Então vamos expandir pela linha i=3.
Portanto, pela expansão por cofatores escolhemos a linha 3 e encontramos \det(A)=8.
Passo 6
Agora vamos recalcular usando eliminação Gaussiana. Primeiro uma pausa didática sobre propriedades do determinante que vamos usar:
Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (operaçãotype III) não altera o determinante.
Objetivo prático: transformar A em uma matriz triangular superior usando apenas operações do tipo “adicionar múltiplo de outra linha” (quando possível), porque para matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Agora zeramos a posição (3,2) usando o pivô 8 na segunda linha. Faça R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{8}R_2 = R_3 - \tfrac{1}{4}R_2 (novamente operação tipo III, determinante inalterado):
Calcule termo a termo:
Para uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é (1,\;8,\;1). Como todas as operações feitas foram do tipo que não alteram o determinante, temos
\det(A)=1\cdot 8\cdot 1 = 8.
Se durante a eliminação tivéssemos trocado linhas ou multiplicado uma linha por constante, teríamos que compensar essas mudanças multiplicando por -1 ou dividindo pelo escalar, respectivamente. Aqui não foi necessário.