Seja
. Verifique que:
(a)
. sendo
a matriz identidade.
(b) Se
encontre uma fórmula para calcular sua inversa.
(c) Volte a calcular a inversa das matrizes da questão 14 usando a fórmula da inversa encontrada no item anterior.
(a)
(b) Se
(c) Volte a calcular a inversa das matrizes da questão 14 usando a fórmula da inversa encontrada no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que
. - (b) Quando
, encontrar uma fórmula para . - (c) Recalcular inversas de algumas matrizes da questão 14 usando a fórmula do item (b).
Informações dadas: apenas que
é uma matriz quadrada
.
Observação importante: o item (c) depende das matrizes da questão 14, que não foram fornecidas aqui. Portanto não há dados suficientes para calcular essas inversas; vou resolver (a) e (b plenamente) e, no item (c), explicitar que não é possível calcular por falta das matrizes.
Observação importante: o item (c) depende das matrizes da questão 14, que não foram fornecidas aqui. Portanto não há dados suficientes para calcular essas inversas; vou resolver (a) e (b plenamente) e, no item (c), explicitar que não é possível calcular por falta das matrizes.
Passo 2
Definições e notação — isto é essencial para entender a prova passo a passo.
- O menor (minor)
é o determinante da matriz obtida de ao apagar a linha e a coluna . - O cofator
é definido por
Ele combina o menor com o sinal adequado.
- A matriz dos cofatores é a matriz formada por todos os
. A adjunta (ou adjugate) é a transposta dessa matriz:
ou seja, a entrada
de
é
.
Vou usar essas definições sem pular etapas: quando eu falar em expandir um determinante por Laplace, é exatamente usar os cofatores
como coeficientes na expansão.
Passo 3
Escrevendo a entrada genérica do produto
.
A entrada
do produto
é
Pela definição de
temos
. Então
Portanto cada entrada do produto é uma soma do produto dos elementos da linha
de
pelos cofatores correspondentes da linha
.
Passo 4
Caso
: mostrar que a entrada diagonal vale
.
Se eu fixo
, a expressão do passo anterior fica
Mas isso é exatamente a fórmula da expansão de
pela linha
(expansão de Laplace): quando expandimos o determinante de
ao longo da linha
obtemos
Logo para todo
Isto mostra todas as entradas da diagonal do produto são
.
Passo 5
Caso
: mostrar que a entrada fora da diagonal vale
.
Considere a matriz
que é igual a
exceto que a linha
de
foi substituída pela linha
de
. Então em
as linhas
e
são iguais, logo
pois determinante de uma matriz com duas linhas iguais é zero.
Agora expandimos
pela linha
. Como a linha
de
é a mesma que a linha
de
, os elementos dessa linha são
. A expansão dá
Mas a soma do lado direito é exatamente a expressão que encontramos no passo 3 para a entrada
de
. Logo, para
,
Passo 6
Conclusão do item (a).
Juntando os casos:
- para
temos , - para
temos .
Portanto a matriz produto é
vezes a identidade:
Isso resolve (a).
Passo 7
Derivando a fórmula da inversa (item (b)).
Se
, então
é um escalar invertível. Da igualdade do passo anterior podemos multiplicar ambos os lados por
(escalar) e obter
Isso mostra que a matriz
é uma inversa à direita de
. Para matrizes quadradas, possuir inversa à direita implica que é a inversa única; também podemos deduzir simetricamente que
aplicando o resultado a
e transpondo (pois
e
), o que garante inversa à esquerda também. Assim temos a fórmula clássica:
Passo 8
Como calcular a
na prática (procedimento) e um exemplo simples.
Procedimento para calcular
via adjunta:
- Para cada par
calcule o menor (determinante da matriz que sobra ao apagar linha e coluna ). - Forme o cofator
. - Monte a matriz dos cofatores
e transponha-a para obter . - Divida
por .
Exemplo 2×2 (para fixar):
Se
Se
os cofatores são
,
,
,
. Assim
e, se
,
o que coincide com a fórmula conhecida.]
Passo 9
Item (c): impossibilidade de calcular sem os dados.
O item (c) pede para recalcular inversas das matrizes da questão 14 usando a fórmula do item (b). Essas matrizes não foram fornecidas neste enunciado. Portanto não é possível executar os cálculos pedidos em (c). Se você me enviar explicitamente as matrizes da questão 14 eu recalculo as inversas passo a passo usando a fórmula
.
Resposta
(a)
\n
(b) Se então
\n
(c) Não é possível calcular: as matrizes da questão 14 não foram fornecidas, logo falta informação para aplicar a fórmula.
(b) Se
(c) Não é possível calcular: as matrizes da questão 14 não foram fornecidas, logo falta informação para aplicar a fórmula.