Seja A_{n \times n}. Verifique que:
(a) A \cdot \operatorname{adj}(A)=\operatorname{det}(A) I_{n \times n}. sendo I_{n \times n} a matriz identidade.
(b) Se \operatorname{det}(A) \neq 0 encontre uma fórmula para calcular sua inversa.
(c) Volte a calcular a inversa das matrizes da questão 14 usando a fórmula da inversa encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Mostrar que A\cdot\operatorname{adj}(A)=\operatorname{det}(A)\,I_{n\times n}.
  2. (b) Quando \operatorname{det}(A)\neq 0, encontrar uma fórmula para A^{-1}.
  3. (c) Recalcular inversas de algumas matrizes da questão 14 usando a fórmula do item (b).
Informações dadas: apenas que A é uma matriz quadrada n\times n.
Observação importante: o item (c) depende das matrizes da questão 14, que não foram fornecidas aqui. Portanto não há dados suficientes para calcular essas inversas; vou resolver (a) e (b plenamente) e, no item (c), explicitar que não é possível calcular por falta das matrizes.

Passo 2

Definições e notação — isto é essencial para entender a prova passo a passo.
  • O menor (minor) M_{ij} é o determinante da matriz obtida de A ao apagar a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Ele combina o menor com o sinal adequado.
  • A matriz dos cofatores é a matriz formada por todos os C_{ij}. A adjunta (ou adjugate) é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\big( C_{ji}\big)_{i,j=1}^n,
ou seja, a entrada (k,j) de \operatorname{adj}(A) é C_{jk}.
Vou usar essas definições sem pular etapas: quando eu falar em expandir um determinante por Laplace, é exatamente usar os cofatores C_{ij} como coeficientes na expansão.

Passo 3

Escrevendo a entrada genérica do produto A\cdot\operatorname{adj}(A).
A entrada (i,j) do produto A\operatorname{adj}(A) é
\big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,\operatorname{adj}(A)_{kj}.
Pela definição de \operatorname{adj}(A) temos \operatorname{adj}(A)_{kj}=C_{jk}. Então
\big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,C_{jk}.
Portanto cada entrada do produto é uma soma do produto dos elementos da linha i de A pelos cofatores correspondentes da linha j.

Passo 4

Caso i=j: mostrar que a entrada diagonal vale \operatorname{det}(A).
Se eu fixo i=j, a expressão do passo anterior fica
\big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ii}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,C_{ik}.
Mas isso é exatamente a fórmula da expansão de \operatorname{det}(A) pela linha i (expansão de Laplace): quando expandimos o determinante de A ao longo da linha i obtemos
\operatorname{det}(A)=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,C_{ik}.
Logo para todo i
\big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ii}=\operatorname{det}(A).
Isto mostra todas as entradas da diagonal do produto são \operatorname{det}(A).

Passo 5

Caso i\neq j: mostrar que a entrada fora da diagonal vale 0.
Considere a matriz B que é igual a A exceto que a linha j de B foi substituída pela linha i de A. Então em B as linhas i e j são iguais, logo
\operatorname{det}(B)=0,
pois determinante de uma matriz com duas linhas iguais é zero.
Agora expandimos \operatorname{det}(B) pela linha j. Como a linha j de B é a mesma que a linha i de A, os elementos dessa linha são a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in}. A expansão dá
0=\operatorname{det}(B)=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,C_{jk}.
Mas a soma do lado direito é exatamente a expressão que encontramos no passo 3 para a entrada (i,j) de A\operatorname{adj}(A). Logo, para i\neq j,
\big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,C_{jk}=0.

Passo 6

Conclusão do item (a).
Juntando os casos:
  • para i=j temos \big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ii}=\operatorname{det}(A),
  • para i\neq j temos \big(A\operatorname{adj}(A)\big)_{ij}=0.
Portanto a matriz produto é \operatorname{det}(A) vezes a identidade:
A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{det}(A)\,I_{n\times n}.
Isso resolve (a).

Passo 7

Derivando a fórmula da inversa (item (b)).
Se \operatorname{det}(A)\neq 0, então \operatorname{det}(A) é um escalar invertível. Da igualdade do passo anterior podemos multiplicar ambos os lados por 1/\operatorname{det}(A) (escalar) e obter
A\cdot\left(\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\operatorname{adj}(A)\right)=I_{n\times n}.
Isso mostra que a matriz \dfrac{1}{\operatorname{det}(A)}\operatorname{adj}(A) é uma inversa à direita de A. Para matrizes quadradas, possuir inversa à direita implica que é a inversa única; também podemos deduzir simetricamente que \operatorname{adj}(A)A=\operatorname{det}(A)I aplicando o resultado a A^T e transpondo (pois \operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(A) e \operatorname{adj}(A^T)=\operatorname{adj}(A)^T), o que garante inversa à esquerda também. Assim temos a fórmula clássica:
A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\operatorname{adj}(A).

Passo 8

Como calcular a \operatorname{adj}(A) na prática (procedimento) e um exemplo simples.
Procedimento para calcular A^{-1} via adjunta:
  1. Para cada par (i,j) calcule o menor M_{ij} (determinante da matriz que sobra ao apagar linha i e coluna j).
  2. Forme o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  3. Monte a matriz dos cofatores (C_{ij}) e transponha-a para obter \operatorname{adj}(A).
  4. Divida \operatorname{adj}(A) por \operatorname{det}(A).
Exemplo 2×2 (para fixar):
Se
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
os cofatores são C_{11}=d, C_{12}=-c, C_{21}=-b, C_{22}=a. Assim
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix},
e, se \operatorname{det}(A)=ad-bc\neq 0,
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix},
o que coincide com a fórmula conhecida.]

Passo 9

Item (c): impossibilidade de calcular sem os dados.
O item (c) pede para recalcular inversas das matrizes da questão 14 usando a fórmula do item (b). Essas matrizes não foram fornecidas neste enunciado. Portanto não é possível executar os cálculos pedidos em (c). Se você me enviar explicitamente as matrizes da questão 14 eu recalculo as inversas passo a passo usando a fórmula \;A^{-1}=\dfrac{1}{\operatorname{det}(A)}\operatorname{adj}(A)\;.

Resposta

(a) A\cdot\operatorname{adj}(A)=\operatorname{det}(A)\,I_{n\times n}.\n
(b) Se \operatorname{det}(A)\neq 0 então \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\operatorname{adj}(A).\n
(c) Não é possível calcular: as matrizes da questão 14 não foram fornecidas, logo falta informação para aplicar a fórmula.

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