Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes:
D=(cccc1 & 3 & 0 & -1 0 & 7 & 4 & 5 5 & -1 & 0 & 11 -6 & 0 & 2 & -6)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
D = 1 & 3 & 0 & -1 0 & 7 & 4 & 5 5 & -1 & 0 & 11 -6 & 0 & 2 & -6
O conteúdo principal é determinante de matriz de ordem 4; vamos usar operações de linha (que preservam o determinante) para simplificar e depois fazer expansão de Laplace.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna. Como adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante, fazemos
R3 R3 - 5,R1, R4 R4 + 6,R1
A matriz fica
1 & 3 & 0 & -1 0 & 7 & 4 & 5 0 & -16 & 0 & 16 0 & 18 & 2 & -12

Passo 3

Agora só o elemento 1 da coluna 1 é não nulo, então expandimos o determinante por essa coluna:
det(D) = 1 ,cdot, det 7 & 4 & 5 -16 & 0 & 16 18 & 2 & -12
Denotemos esse menor por M.

Passo 4

Para calcular det(M) usamos a fórmula de expansão em 3times 3:
det(M) =7 det0 & 16 2 & -12 -4 det-16 & 16 18 & -12 +5 det-16 & 0 18 & 2
Cada determinante 2times 2 vale
det0 & 16 2 & -12 = -32, det-16 & 16 18 & -12 = -96, det-16 & 0 18 & 2 = -32
Portanto
det(M)=7cdot(-32)-4cdot(-96)+5cdot(-32) =-224+384-160=0

Resposta

det(D)=0

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