Nos Exercícios de 1 a 19, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
senh nsen n

Passo 1

Temos a sequência
an = sinh(n)sin(n),
onde sinh(x) = tfrace^x - e^-x2 e sin(n) é o seno em radianos. O que pedem é: ( 1) escrever a1,a2,a3,a4 e ( 2) investigar se limntoinftyan existe (isto é, se a sequência converge) e, em caso afirmativo, calcular esse limite.

Passo 2

Calculemos simbolicamente os quatro primeiros termos:
a1 = sinh(1)sin(1), a2 = sinh(2)sin(2), a3 = sinh(3)sin(3), a4 = sinh(4)sin(4)
Para ter uma ideia numérica rápida, usamos aproximações:
sinh(1)approx1,1752, sin(1)approx0,8415 Rightarrow a1approx1,396.
sinh(2)approx3,6269, sin(2)approx0,9093 Rightarrow a2approx3,990.
sinh(3)approx10,0179, sin(3)approx0,1411 Rightarrow a3approx71,00.
sinh(4)approx27,2899, sin(4)approx-0,7568 Rightarrow a4approx-36,06.

Passo 3

Para investigar o comportamento quando ntoinfty, note que:
1. sinh(n) = tfrace^n - e^-n2 cresce exponencialmente como tfrace^n2to+infty.
2. sin(n) oscila entre -1 e 1 sem limitar-se a um valor fixo quando n é inteiro.
Logo o numerador cresce sem limite e o denominador fica sempre no intervalo [-1,1] oscilando, de modo que |an|to+infty e, além disso, o sinal de an muda conforme sin(n) muda de sinal. Portanto não há um único valor limite.

Passo 4

Concluímos que a sequência é divergente, pois limntoinftyan não existe (a magnitude tende a infinito e o sinal oscila).

Resposta

Os quatro primeiros termos são
a1 = sinh(1)sin(1), a2 = sinh(2)sin(2), a3 = sinh(3)sin(3), a4 = sinh(4)sin(4),
com aproximações 1,396,;3,990,;71,00,;-36,06.
A sequência é divergente.

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