Nos Exercícios de 1 a 19, escreva os quatro primeiros elementos da sequência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Temos a sequência
onde
e
é o seno em radianos. O que pedem é: (
) escrever
e (
) investigar se
existe (isto é, se a sequência converge) e, em caso afirmativo, calcular esse limite.
Passo 2
Calculemos simbolicamente os quatro primeiros termos:
Para ter uma ideia numérica rápida, usamos aproximações:
,
.
,
.
,
.
,
.
Passo 3
Para investigar o comportamento quando
, note que:
.
cresce exponencialmente como
.
.
oscila entre
e
sem limitar-se a um valor fixo quando
é inteiro.
Logo o numerador cresce sem limite e o denominador fica sempre no intervalo
oscilando, de modo que
e, além disso, o sinal de
muda conforme
muda de sinal. Portanto não há um único valor limite.
Passo 4
Concluímos que a sequência é divergente, pois
não existe (a magnitude tende a infinito e o sinal oscila).
Resposta
Os quatro primeiros termos são
com aproximações
.
A sequência é divergente.
A sequência é divergente.