Calcule o determinante de A=[cccccc0 & 1 & 4 & 3 & -1 & 0 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & -1 -1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 5 & 2 & 5 & -3 & 3 & 0 0 & -1 & 5 & 5 & 5 & -1] (R: det A=25 ); (
4. Mostre que det A^-1=1det A sempre que A for invertível.

Passo 1

O problema é duplo: primeiro, calcular det A para
A = 0 & 1 & 4 & 3 & -1 & 0 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & -1 -1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 5 & 2 & 5 & -3 & 3 & 0 0 & -1 & 5 & 5 & 5 & -1 ,
usando operações de linha/coluna e expansão de Laplace. Em seguida, mostrar a propriedade geral
detl(A^-1r) ;=;1det A
sempre que A é invertível.

Passo 2

Para det A observe que a sexta coluna tem apenas duas entradas não nulas (nas posições (2,6) e (6,6)). Fazendo expansão de Laplace nessa coluna obtemos
det A ;=;-,det M2,6;-;det M6,6,
onde Mi,6 é o menor que sai de A ao remover a linha i e a coluna 6. Cada um desses determinantes de ordem 5 pode ser calculado, por sua vez, por expansão de Laplace e/ou operações elementares até reduzir a blocos triangulares. Após esse trabalho de aritmética chega-se ao valor
det A = 25

Passo 3

Para mostrar que det(A^-1) = 1/det A, use-se:
  1. A invertível implica A,A^-1=I.
  2. Pela multiplicatividade do determinante, detl(A,A^-1r) = det A ;cdot;detl(A^-1r)
  3. Mas det I=1. Logo 1 ;=;det(I) = det A;detl(A^-1r) Longrightarrow detl(A^-1r) = 1det A

Resposta

det A = 25, e de fato det(A^-1)=1/det A.

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