Seja A uma matriz quadrada.
(a) Definindo indutivamente: A^0=I e A^n=A A^n-1 para todo n natural. Se A, B são matrizes quadradas de ordem 3 . Quanto vale det A^2 e em geral, det A^n=(det A)^n. para todo n inteiro. (Dica: lembre-se que det X Y=det X. det Y para quaisquer matrizes X, Y quadradas de mesma ordem).
(b) Seja A=(ai j)n times n definida por ai j=lll1 & se & i<j 0 & se & i >= j ( A é uma matriz triangular superior com diagonal principal nula). Calcule det A.
(c) Caso A tenha inversa podemos definir A^-n=(A^-1)^n para todo natural. Prove que A=[ccc1 & 0 & 0 0 & cos theta & -sin theta 0 & sin theta & cos theta] tem inversa e calcule A^n e A^-n para todo n natural.
(d) Mostre que para todo n natural, det A^n=det A^-n=1, onde A é a matriz do item c , sejam quais forem o n natural e o angulo theta escolhidos.

Passo 1

O enunciado tem quatro partes:
(1) provar que, para toda matriz quadrada A e todo ninN, vale
det(A^n)=(det A)^n,
em particular det(A^2)=(det A)^2;
(2) calcular o determinante de uma matriz triangular superior de ordem n com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero;
(3) mostrar que
A= 1 & 0 & 0 0 & costheta & -sintheta 0 & sintheta & costheta
é invertível e calcular A^n e A^-n para todo ninN;
(4) concluir que, nesse caso, det(A^n)=det(A^-n)=1.
Vamos usar teoria de determinantes (propriedade det(XY)=det Xcdotdet Y), prova por indução, fato de que determinante de triangular é produto da diagonal, e propriedades de matrizes de rotação.

Passo 2

Prova por indução de que det(A^n)=(det A)^n.
Base ( n=0): por definição A^0=I e det(I)=1, logo
det(A^0)=1=(det A)^0
Passo indutivo: suponha det(A^k-1)=(det A)^k-1. Então, usando det(XY)=det Xcdotdet Y, temos
det(A^k)=detl(Acdot A^k-1r) =det(A),det(A^k-1) =det(A),(det A)^k-1 =(det A)^k
Isso fecha a indução para todo ninN.

Passo 3

Em particular, para n=2 fica
det(A^2)=(det A)^2
E, de modo geral, acabamos de mostrar que
det(A^n)=(det A)^nforall ninN

Passo 4

(b) Se A=(aij) é triangular superior, então
det A=prodi=1^n aii
Neste caso aii=0 para todo i, logo
det A=0cdot0cdots0=0

Passo 5

(c) A matriz
A= 1 & 0 & 0 0 & costheta & -sintheta 0 & sintheta & costheta
é bloco-diagonal, com bloco costheta&-sinthetasintheta&costheta de rotação no plano. Esse bloco tem determinante
cos^2theta+ sin^2theta=1,
e o elemento 1 na primeira linha também faz det A=1neq0. Logo A é invertível. Sabendo que matriz de rotação é ortogonal, a inversa é a transposta:
A^-1=A^T = 1 & 0 & 0 0 & costheta & sintheta 0 & -sintheta & costheta

Passo 6

Para potências de uma matriz bloco-diagonal basta elevar cada bloco. No nosso caso, o bloco de rotação ao ângulo theta obedecem à regra de soma de ângulos:
costheta & -sintheta sintheta & costheta ^n = cos(ntheta) & -sin(ntheta) sin(ntheta) & cos(ntheta)
Portanto
A^n = 1 & 0 & 0 0 & cos(ntheta) & -sin(ntheta) 0 & sin(ntheta) & cos(ntheta) , A^-n=(A^-1)^n = 1 & 0 & 0 0 & cos(-ntheta) & -sin(-ntheta) 0 & sin(-ntheta) & cos(-ntheta)

Passo 7

(d) Como det A=1, pelos itens (a) e (c) temos
det(A^n)=(det A)^n=1^n=1, det(A^-n)=(det A^-1)^n =l((det A)^-1r)^n =1^-n=1

Resposta

(a) det(A^2)=(det A)^2 e, em geral, det(A^n)=(det A)^n.
(b) det A=0.
(c) A é invertível com
A^n= 1 & 0 & 0 0 & cos(ntheta) & -sin(ntheta) 0 & sin(ntheta) & cos(ntheta) , A^-n= 1 & 0 & 0 0 & cos(-ntheta) & -sin(-ntheta) 0 & sin(-ntheta) & cos(-ntheta)
(d) det(A^n)=det(A^-n)=1.

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