Seja uma matriz quadrada.
(a) Definindo indutivamente: e para todo natural. Se são matrizes quadradas de ordem 3 . Quanto vale e em geral, . para todo inteiro. (Dica: lembre-se que . para quaisquer matrizes quadradas de mesma ordem).
(b) Seja definida por ( A é uma matriz triangular superior com diagonal principal nula). Calcule det A.
(c) Caso A tenha inversa podemos definir A^-n=(A^-1)^n para todo natural. Prove que A=[ccc1 & 0 & 0 0 & cos theta & -sin theta 0 & sin theta & cos theta] tem inversa e calcule A^n e A^-n para todo n natural.
(d) Mostre que para todo n natural, det A^n=det A^-n=1, onde A é a matriz do item c , sejam quais forem o n natural e o angulo theta escolhidos.
Passo 1
O enunciado tem quatro partes:
(1) provar que, para toda matriz quadrada A e todo ninN, vale
det(A^n)=(det A)^n,
em particular det(A^2)=(det A)^2;
(2) calcular o determinante de uma matriz triangular superior de ordem n com todos os elementos da diagonal principal iguais a zero;
(3) mostrar que
é invertível e calcular A^n e A^-n para todo ninN;
(4) concluir que, nesse caso, det(A^n)=det(A^-n)=1.
Vamos usar teoria de determinantes (propriedade det(XY)=det Xcdotdet Y), prova por indução, fato de que determinante de triangular é produto da diagonal, e propriedades de matrizes de rotação.
Passo 2
Prova por indução de que det(A^n)=(det A)^n.
Base (n=0): por definição A^0=I e det(I)=1, logo
Para potências de uma matriz bloco-diagonal basta elevar cada bloco. No nosso caso, o bloco de rotação ao ângulo theta obedecem à regra de soma de ângulos: