Calcule o determinante jacobiano das seguintes transformações:
T(x, y)=(xx^2+y^2,-yx^2+y^2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por e precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e matrizes jacobianas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a transformação u = xx^2+y^2 e v = -yx^2+y^2 . Podemos escrever:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 e em relação a e . Vamos começar com .

Passo 4

Em seguida, calculamos partial upartial y = 0 cdot (x^2+y^2) - x(2y)(x^2+y^2)^2 = -2xy(x^2+y^2)^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial vpartial x = 0 cdot (x^2+y^2) - (-y)(2x)(x^2+y^2)^2 = 2xy(x^2+y^2)^2 :

Passo 6

Por fim, calculamos partial vpartial y = (-1)(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 :

Passo 7

Com as derivadas parciais calculadas, montamos a matriz jacobiana J = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 & -2xy(x^2+y^2)^2 2xy(x^2+y^2)^2 & -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 :

Passo 8

Agora, vamos calcular o determinante da matriz jacobiana det(J) = ( -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 ) ( -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 ) - ( -2xy(x^2+y^2)^2 ) ( 2xy(x^2+y^2)^2 ) :
det(J) = (x^2 - y^2)^2(x^2+y^2)^4 - (-2xy)(2xy)(x^2+y^2)^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 + 4x^2y^2(x^2+y^2)^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4(x^2+y^2)^4 = (x^2+y^2)^2(x^2+y^2)^4 = 1(x^2+y^2)^2
Simplificando:

Resposta

O determinante jacobiano da transformação é .

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