Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(h) integral0^2 1x d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria integral0^21x,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no limite de integração (aqui em x=0). Para resolver, vamos usar a definição de integral imprópria e a antiderivada de 1/x.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integral como limite, substituindo o ponto problemático 0 por um parâmetro varepsilon>0:
integral0^21x,dx =limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^21x,dx
Agora usamos que a antiderivada de 1/x é ln(x).

Passo 3

Calculamos a integral intermediária e avaliamos o limite:
integralvarepsilon^21x,dx =[ln(x)]varepsilon^2 =ln(2)-ln(varepsilon)
Ao fazer varepsilonto0^+, temos ln(varepsilon)to -infty, logo
ln(2)-ln(varepsilon)to +infty
Isso mostra que a integral não tende a um valor finito.

Passo 4

Como o limite da integral é infinito, concluímos que ela não converge, ou seja, diverge.

Resposta

A integral diverge.

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