Utilizando Substituição de Variáveis e a Técnica das Frações Parciais, calcule as seguintes primitivas.
(n) integral 11+raiz[3]y d y

Passo 1

Temos que calcular a primitiva integral 11+raiz[3]y,dy. O conteúdo envolve integração por substituição (para tratar a raiz cúbica) e frações parciais (para decompor o integrando após a substituição). Vamos usar a substituição t=y^1/3, lembrando que isso leva a y=t^3 e dy=3t^2,dt.

Passo 2

Definindo t=y^1/3, temos y=t^3 e dy=3t^2,dt. Substituindo na integral, obtemos:
integral 11+raiz[3]y,dy = integral 11+t;3t^2,dt = integral 3t^2t+1,dt

Passo 3

Para decompor 3t^2t+1, fazemos divisão de polinômios. Note que
t^2 = (t+1)(t-1) + 1,
então
t^2t+1 = t - 1 + 1t+1,
e multiplicando por 3:
3t^2t+1 = 3l(t - 1 + 1t+1r)

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 3t^2t+1,dt = 3integrall(t - 1 + tfrac1t+1r)dt = 3l(tfract^22 - t + ln|t+1|r) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando t=y^1/3. Assim, a primitiva fica:
32y^2/3 - 3y^1/3 + 3lnl(y^1/3+1r) + C

Resposta

32y^2/3 - 3y^1/3 + 3lnl(y^1/3+1r) + C

Exercícios relacionados