Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(m)
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria . O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no limite inferior (pois quando ). Vamos precisar do antiderivado de e do cálculo de limites.
Passo 2
Para lidar com a singularidade em , escrevemos a integral como limite:
Sabemos que
Então, substituímos nos limites de integração e obtemos
Como sin(tfracpi4)=tfracraiz22, o primeiro termo é ln(tfracraiz22), que é finito.
Passo 3
Agora analisamos o comportamento de ln(sin(varepsilon))) quando varepsilonto0^+. Como sin(varepsilon)simvarepsilon para ângulos pequenos, temos ln(sin(varepsilon))simln(varepsilon)to-infty Logo