Determine quais das seguintes integrais definidas convergem e quais divergem. Use o método de convergência que preferir.
(m) integral0^pi / 4 cotg(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria I=integral0^pi/4cot(theta),dtheta. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no limite inferior (pois cot(theta)to+infty quando thetato0^+). Vamos precisar do antiderivado de cot(theta) e do cálculo de limites.

Passo 2

Para lidar com a singularidade em theta=0, escrevemos a integral como limite:
integral0^pi/4cot(theta),dtheta=limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^pi/4cot(theta),dtheta
Sabemos que
integralcot(theta),dtheta=lnl|sin(theta)r|+C
Então, substituímos nos limites de integração e obtemos
I(varepsilon)=l[ln|sin(theta)|r]theta=varepsilon^theta=pi/4 =lnl(sin(tfracpi4)r)-lnl(sin(varepsilon)r)
Como sin(tfracpi4)=tfracraiz22, o primeiro termo é ln(tfracraiz22), que é finito.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de ln(sin(varepsilon))) quando varepsilonto0^+. Como sin(varepsilon)simvarepsilon para ângulos pequenos, temos ln(sin(varepsilon))simln(varepsilon)to-infty Logo
I(varepsilon)=lnl(tfracraiz22r)-lnl(sin(varepsilon)r)to+infty
quando varepsilonto0^+.

Passo 4

Portanto, a integral integral0^pi/4cot(theta),dtheta não converge, mas diverge (vai para +infty).

Resposta

Diverge.

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