Calcule o determinante jacobiano das seguintes transformações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante jacobiano da transformação
. Isso faz parte de um tópico de cálculo que envolve derivadas parciais e mudanças de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como montar a matriz jacobiana e depois calcular o seu determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Ela é uma matriz composta pelas derivadas parciais das funções que definem a transformação em relação às variáveis originais. No nosso caso, temos duas funções:
Então, a matriz jacobiana
será:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na matriz jacobiana:
Passo 5
Para encontrar o determinante de
, usamos a fórmula para matrizes 2x2:
Onde:
Então:
Passo 6
Vamos simplificar:
Notamos que
, então:
Resposta
O determinante jacobiano da transformação
é
.