Calcule o determinante jacobiano das seguintes transformações:
T(x, y)=(e^x cos y, e^x sen y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante jacobiano da transformação . Isso faz parte de um tópico de cálculo que envolve derivadas parciais e mudanças de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como montar a matriz jacobiana e depois calcular o seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Ela é uma matriz composta pelas derivadas parciais das funções que definem a transformação em relação às variáveis originais. No nosso caso, temos duas funções:
u = e^x cos y
v = e^x sin y
Então, a matriz jacobiana J = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y será:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. partialpartial x ( e^x cos y ) = e^x cos y :
partialpartial y ( e^x cos y ) = -e^x sin y
  1. partialpartial x ( e^x sin y ) = e^x sin y :
partialpartial y ( e^x sin y ) = e^x cos y
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na matriz jacobiana:
J = e^x cos y & -e^x sin y e^x sin y & e^x cos y

Passo 5

Para encontrar o determinante de det(J) = (a cdot d) - (b cdot c) , usamos a fórmula para matrizes 2x2:
a = e^x cos y, b = -e^x sin y, c = e^x sin y, d = e^x cos y
Onde:
det(J) = (e^x cos y)(e^x cos y) - (-e^x sin y)(e^x sin y)
Então:

Passo 6

Vamos simplificar:
det(J) = e^2x cos^2 y + e^2x sin^2 y
Notamos que det(J) = e^2x cdot 1 = e^2x , então:

Resposta

O determinante jacobiano da transformação é .

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