CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 (Veja Soluções de Problemas Selecionados de Ordem Ímpar ao final do liuro.) Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
ointC(1(z+i)^3-5z+i+8) d z, onde C é a circunferência |z+i|=1.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de contorno ointCl(tfrac1(z+i)^3-tfrac5z+i+8r),dz, onde o contorno C é a circunferência |z+i|=1. O conteúdo aqui é integral complexa e vamos precisar aplicar o Teorema dos Resíduos para funções com pólos isolados.

Passo 2

O único ponto singular da função f(z)=tfrac1(z+i)^3-tfrac5z+i+8 é em z=-i, pois ali os termos (z+i)^-3 e (z+i)^-1 explodem. Como o contorno |z+i|=1 é exatamente uma circunferência de raio 1 centrada em -i, esse pólo está dentro de C.

Passo 3

Para usar o Teorema dos Resíduos, precisamos do coeficiente de (z+i)^-1 na expansão de Laurent de f em torno de z=-i. O termo (z+i)^-3) não contribui para o coeficiente de ordem -1, e o termo constante 8 também não. Já -5/(z+i) tem exatamente coeficiente -5 em (z+i)^-1. Logo,
O Resíduo de f em z=-i é -5. Pelo Teorema dos Resíduos,
ointCf(z),dz = 2pi i sumpólos dentro de C Res(f) = 2pi i cdot (-5) = -10pi ió

Resposta

-10\pi i

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