CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 (Veja Soluções de Problemas Selecionados de Ordem Ímpar ao final do liuro.) Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
, onde
é a circunferência
.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de contorno
, onde o contorno
é a circunferência
. O conteúdo aqui é integral complexa e vamos precisar aplicar o Teorema dos Resíduos para funções com pólos isolados.
Passo 2
O único ponto singular da função
é em
, pois ali os termos
e
explodem. Como o contorno
é exatamente uma circunferência de raio 1 centrada em
, esse pólo está dentro de
.
Passo 3
Para usar o Teorema dos Resíduos, precisamos do coeficiente de
na expansão de Laurent de
em torno de
. O termo
não contribui para o coeficiente de ordem
, e o termo constante 8 também não. Já
tem exatamente coeficiente
em
. Logo,
O Resíduo de em
é
. Pelo Teorema dos Resíduos,
O Resíduo de
Resposta
-10\pi i