Calcule o determinante jacobiano das seguintes transformações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo multivariável, mais especificamente sobre o determinante jacobiano. O determinante jacobiano é super útil quando estamos lidando com transformações de coordenadas, porque ele ajuda a entender como as áreas ou volumes são alterados pela transformação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções que definem a transformação e montar a matriz jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformação
. Aqui, temos duas funções:
Nosso objetivo é encontrar o determinante da matriz jacobiana dessa transformação.
Passo 3
A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções
e
em relação às variáveis
e
. Ou seja, ela fica assim:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, montamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
Passo 6
Para encontrar o determinante jacobiano, a gente calcula o determinante dessa matriz:
Passo 7
Fazendo as multiplicações:
Simplificando:
Resposta
O determinante jacobiano da transformação
é: