Calcule o determinante jacobiano das seguintes transformações:
T(x, y)=(x^2+y^2, xy)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo multivariável, mais especificamente sobre o determinante jacobiano. O determinante jacobiano é super útil quando estamos lidando com transformações de coordenadas, porque ele ajuda a entender como as áreas ou volumes são alterados pela transformação. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções que definem a transformação e montar a matriz jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformação . Aqui, temos duas funções:
Nosso objetivo é encontrar o determinante da matriz jacobiana dessa transformação.

Passo 3

A matriz jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções J = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y e em relação às variáveis e . Ou seja, ela fica assim:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, montamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
J = 2x & 2y 1y & -xy^2

Passo 6

Para encontrar o determinante jacobiano, a gente calcula o determinante dessa matriz:
det(J) = (2x) (-xy^2) - (2y) (1y)

Passo 7

Fazendo as multiplicações:
det(J) = -2x^2y^2 - 2yy
Simplificando:
det(J) = -2x^2y^2 - 2

Resposta

O determinante jacobiano da transformação det(J) = -2x^2y^2 - 2 é:

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