Calcule o determinante da matriz M,
M=(rrrrr -4 & -6 & -4 & -5 & 0 -3 & 0 & -4 & -3 & -6 -4 & -1 & 0 & 1 & -5 -5 & 0 & -1 & 3 & -4 3 & 0 & 3 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5times5. O conteúdo envolvido é cálculo de determinante por expansão em cofactores e redução de matrizes por operações elementares. Para facilitar, vamos expandir ao longo da segunda coluna, onde só aparecem dois elementos não nulos, e depois calcular dois determinantes 4times4.

Passo 2

Expandindo det(M) pela coluna 2, cujos elementos são
M12=-6, M22=0, M32=-1, M42=0, M52=0,
obtemos
det(M) =sumi=1^5(-1)^i+2Mi2det(Mi2) =6det(A)+1det(B),
onde A é o menor obtido retirando a linha 1 e a coluna 2, e B é o menor retirando a linha 3 e a coluna 2.

Passo 3

O menor A é a matriz 4times4
A = -3 & -4 & -3 & -6 -4 & 0 & 1 & -5 -5 & -1 & 3 & -4 3 & 3 & 0 & 1

Passo 4

Para det(A) fazemos eliminação gaussiana na primeira coluna:
-3 & -4 & -3 & -6 -4 & 0 & 1 & -5 -5 & -1 & 3 & -4 3 & 3 & 0 & 1 ;xrightarrowR2to R2-tfrac43R1,;;R3to R3-tfrac53R1,;;R4to R4+R1; -3 & -4 & -3 & -6 0 & tfrac163 & 5 & 3 0 & tfrac173 & 8 & 6 0 & -1 & -3 & -5
Então
det(A) =(-3)det tfrac163 & 5 & 3[6pt] tfrac173 & 8 & 6[3pt] -1 & -3& -5
Chame essa matriz de D. Para evitar frações, fazemos E multiplicando a linha 1 de D por 3 (isso multiplica o det por 3):
E = 16 & 15 & 9 tfrac173&8 &6 -1&-3&-5 ;xrightarrowsubstackmu<iplicar row2 por 3 ; F= 16 & 15 & 9 17 & 24 &18 -1 & -3 &-5 ,
onde det(F)=3,det(E). Calculando diretamente
det(F) =16,(24cdot(-5)-18cdot(-3)) -15,(17cdot(-5)-18cdot(-1)) +9,(17cdot(-3)-24cdot(-1)) =-1056+1005-243=-294
Logo det(E)=tfracdet(F)3=-98, det(D)=det(E), e
det(A)=(-3),(-98)=294
Mas cuidado: na passagem de D para E multiplicamos só a linha 1 por 3, portanto det(E)=3det(D), logo det(D)=tfracdet(E)3=-98 e
det(A)=(-3)times(-98)=294.]

Passo 5

O menor é
Fazemos eliminação na primeira coluna:
Daí
Chamando essa de e computando
segue

Passo 6

Juntando tudo,
det(M)=6det(A)+1det(B)=6cdot294+(-371)=1764-371=1393

Resposta

1393

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