Seja A in Mn(R) uma matriz diagonalizável. Mostre que:
a) det(A) é igual ao produto dos autovalores (considerando suas multiplicidades algéricas).
b) tr(A) é igual à soma dos autovalores (considerando suas multiplicidades algébricas).
(Sugestão: lembre-se da decomposição A=P D P^-1 quando A é diagonalizável.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas identidades clássicas de matrizes diagonalizáveis em :
a) que é igual ao produto dos autovalores de , contando cada um com sua multiplicidade algébrica;
b) que é igual à soma dos mesmos autovalores com suas multiplicidades.
O conteúdo que vamos usar é a diagonalização de (isto é, com diagonal) e as propriedades de determinante e traço em semelhança de matrizes.

Passo 2

Como A é diagonalizável, existem uma matriz inversível P e uma matriz diagonal
D = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan
tal que
A = P,D,P^-1,
onde lambda1,dots,lambdan são exatamente os autovalores de A, cada um repetido de acordo com sua multiplicidade algébrica.

Passo 3

Para a determinação de det(A), usamos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes e que det(P^-1) = 1/det(P). Assim,
det(A) = detl(P,D,P^-1r) = det(P),det(D),det(P^-1) = det(D)
como det(P),det(P^-1)=1. E, sendo D diagonal,
det(D) = lambda1,lambda2cdotslambdan
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det(A)=prodi=1^nlambdai

Passo 4

Para o traço, lembramos que traço é invariante por semelhança, ou seja
Como é diagonal,
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Resposta

a)
b)

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