Seja uma matriz diagonalizável. Mostre que:
a) é igual ao produto dos autovalores (considerando suas multiplicidades algéricas).
b) é igual à soma dos autovalores (considerando suas multiplicidades algébricas).
(Sugestão: lembre-se da decomposição quando é diagonalizável.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas identidades clássicas de matrizes diagonalizáveis em :
a) que é igual ao produto dos autovalores de , contando cada um com sua multiplicidade algébrica;
b) que é igual à soma dos mesmos autovalores com suas multiplicidades.
O conteúdo que vamos usar é a diagonalização de (isto é, com diagonal) e as propriedades de determinante e traço em semelhança de matrizes.
Passo 2
Como é diagonalizável, existem uma matriz inversível e uma matriz diagonal
tal que
A = P,D,P^-1,
onde lambda1,dots,lambdan são exatamente os autovalores de A, cada um repetido de acordo com sua multiplicidade algébrica.
Passo 3
Para a determinação de det(A), usamos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes e que det(P^-1) = 1/det(P). Assim,