Considere um operador linear T: R^2 R^2 cuja representação matricial em alguma base B de R^2 seja (ll2 & 2 1 & 3). Determine:
a) o polinômio característico de T;
b) os autovalores de T e suas multiplicidades algébricas;
c) os autoespaços associados aos autovalores de T e uma base para cada um deles;
d) as multiplicidades geométricas dos autovalores de T;
e) se T é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base de autovetores de T para R^2 e apresente a forma diagonal.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz em certa base B é
A=2 & 21 & 3
Precisamos usar os conceitos de polinômio característico chiT(lambda)=det(A-lambda I), solução de chiT(lambda)=0 para achar autovalores, resolver (A-lambda I)x=0 para obter autoespaços, e comparar multiplicidades algébrica e geométrica para decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Para achar o polinômio característico calculamos
A-lambda I =2-lambda & 21 & 3-lambda
e então
chiT(lambda) =det(A-lambda I) =(2-lambda)(3-lambda)-2cdot1 =lambda^2-5lambda+4

Passo 3

Os autovalores são as raízes de
lambda^2-5lambda+4=0
Resolvendo a equação quadrática, vem
lambda=5pmraiz25-162 =5pm32,
logo lambda1=4 e lambda2=1, cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 4

Para resolvemos
que dá . Assim
base escolhida .
Para resolvemos
que dá . Logo
base escolhida .

Passo 5

As dimensões dos autoespaços são as multiplicidades geométricas. Aqui
dim E4=1, dim E1=1

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica (1) coincide com a algébrica (1) e , é diagonalizável. Uma base de autovetores é
e, nessa base, a matriz de fica diagonal com entradas
.

Resposta

(a)
(b) Autovalores e , cada um com multiplicidade algébrica .
(c)
(d) As multiplicidades geométricas são e .
(e) Sim, é diagonalizável. Base de autovetores e forma diagonal .

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